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第六章定积分学习目标（１）了解定积分的概念及其几何意义．（２）学习从实际问题抽象出定积分概念的思想．（３）掌握定积分基本公式和运算法则．（４）掌握定积分在简单经济问题上的应用的方法．6.1定积分的概念6.2定积分的性质6.3定积分和不定积分的关系6.4定积分的换元积分法与分部积分法6.5广义积分6.6定积分的应用（一）引例——曲边梯形的面积6.1定积分的概念曲边梯形就是由三条直线与一条曲线所围成的图形，形成其边界的两条直线互相平行且与第三条直线垂直，而两条平行直线中的每一条跟曲线至多相交于一点（如下图a）．曲边梯形的特殊情形：平行直线中的一条或两条可能会缩成一点（如下图b、c）．(a)

(b)(c)O0.20.40.60.81xyy=x2例6-1求由曲线y=x2，直线x=1以及x轴所围成的曲边梯形的面积A的近似值.解：将区间[0,1]作n=10等分，每个小区间为这样，所求的曲边梯形分成了10个小的曲边梯形，由于y=x2是连续的，在长度很小的区间上，我们近似地用直线段来代替曲线段，即用小的矩形的面积近似地代替小的曲边梯形的面积。这些小矩形的宽即为小区间的长度，取每个小矩形的左端点所对应的函数值作为小矩形的高．因此，10个小矩形的面积之和为所以，所求曲边梯形的面积A≈0.285。这只是一个近似值。显然，当区间[0,1]被分割得越细，所得到的数值越接近于曲边梯形的面积．当n=100（此时小区间被细分为100等分）时，可计算得到100个小矩形面积之和=0.32835即A≈0.32835当我们将区间[0,1]再更加细地作n=1000、10000、20000、40000等分，而仍取各小区间的左端点，可分别得到0.332834、0.33283、0.333308、0.333321．分割数nξi取左端点求和ξi取右端点求和ξi取中点求和ξi取左1/3点求和ξi取左2/3点求和100.2850000.3850000.3325000.3161110.3494431000.3283500.3383500.3333250.3316610.33499310000.3328340.3338330.3333330.3331670.333500100000.3332830.3333830.3333330.3333170.333350200000.3333080.3333600.3333330.3333250.333340如果在上面求和过程中，作为各小矩形高度的取作其它点（如取为各小区间的右端点xi、中点、左1/3点或右1/3点等）是否会改变所求的面积的值．下表列出的是不同的分割数n和不同的取值所对应和式的值．由上表可以看出，尽管我们取了不同的ξi作为求和中小矩形的高，但结果是一样的（即当n逐渐增大时，所求的和——小矩形面积之和逐渐趋向于1/3）。这就是说，和式的极限不会因为ξi的不同取法而不同。不仅如此，即使对区间采取不等分地分割方法，只要各小区间的长度逐渐趋于零，也不影响计算结果．一般地，只要在区间[0,1]中任意地插入分点：0=x0≤x1≤x2≤…≤xn=1，将区间[0,1]任意分割成n个小区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n)，每个小区间的长度为Δxi=xi–xi-1，在每个小区间上任取一点ξi，作乘积f(ξi)Δxi=ξi2Δxi(i=1,2,…,n)，再求每个小区间上所作乘积之和当Δxi→0时(i=1,2,…,n)，上述和式的极限就是所求曲边梯形的面积．（利用例5-18的结论）（利用例5-19的结论）txatxa这就是不定积分的分部积分公式．5.6经济上的应用举例【例4-30】某商场每天以批发价3元/件购进一批商品销售.根据经