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江苏省南京市二十九中学2023-2024学年高三上学期10月调研测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数满足，则的虚部为（????）

A． B． C． D．

2．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（????）

A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.939

3．设函数，则函数的图象可能为（????）

A． B．

C． D．

4．某商店共有，，三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是品牌，乙买的不是品牌，则这三人买水杯的情况共有（????）

A．3种 B．7种 C．12种 D．24种

5．已知函数的定义域为，数列满足，则“数列为递增数列”是“函数为增函数”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．函数的所有零点之和为（????）.

A．10 B．11 C．12 D．13

7．已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，?，x9满足方程组，则d的最小值为（）

A． B． C． D．

8．如图，已知双曲线的左?右焦点分别是，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则的离心率为（????）

??

A． B． C．2 D．3

二、多选题

9．，若将图象向左平移个单位长度后在上有且只有两个零点，则的取值可以是（?????）

A． B． C． D．

10．已知三棱锥的侧面展开图放在正方形网格中的位置如图所示，那么在三棱锥中，则（????）

A．

B．

C．直线与平面所成角的正切值为

D．二面角的余弦值为

11．考虑二维空间中的函数，当该函数对任意选取的都满足下面的条件（1）-（4）时，我们称为二维欧氏空间中的度量函数.

（1）；

（2）；

（3）当且仅当；

（4）.

注：均为二维空间中的点，例如，其中.

考虑以下四种度量函数：

则以上四个度量函数是二维欧氏空间中的度量函数的是（????）

A． B． C． D．

12．已知函数满足为偶函数且，其中是的导函数，则（????）

A．的一个周期为

B．的图象关于点对称

C．的图象关于直线对称

D．的图象关于直线对称

三、填空题

13．若的展开式中存在常数项，则满足要求的最小正整数为.

14．已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则.

15．设正实数满足，且，则的最小值为.

16．如图，在四面体中，，，，分别是的中点若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为.

四、解答题

17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

18．已知数列满足，.

(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)若，数列的前项和，求证：.

19．为了加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座.已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1.

(1)假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话.

（i）求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；

（ii）该社区这一天被电信诈骗的人数记为，求的分布列和数学期望.

(2)根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗?（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）

（参考数据：，，，）

20．已知中，内角都是锐角.

(1)若，证明：；

(2)若，且，求内切圆半径的最大值.

21．已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，，是此椭圆上不同于上顶点的两点

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若

（i）求证：直线过定点，并求出定点坐标；

（ii）设直线与抛物线交于，两点，且，，，从左到右排列，且满足，设的面积为，求的最小值及此时抛物线的方程.

22．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：

(1)求实数，的值；

(2)求证：；

(3)求不等式