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北航《信息理论基础》习题8.8的完整解法:
8.8:对于连续型随机序列X=x1x2…xn;Y=y1y2…yn。证明:当信源X无记忆时:
即:P(X)=P(x1)P(x2)P(x3)…P(xn)时,则有:
证明:当信道特性P(Y/X)无记忆时,即:,则有:
问在什么条件下,两式的等号成立,试证其的充分必要性!
证明:证法一(包容法)
(I)随机变量的定义域。
上式中等号成立的条件是:
下面就证明等号成立的充分必要条件是:
先证明等式成立的必要条件:
;即:必要性得证。
再看充分条件:假设成立;
;充分性得证!
即:信道的无记忆性是所证不等式等号成立的充要条件。
(Ⅱ).证:当时;则有:
因此,不等式:成立。再证等号成立的充要条件:
当时,应有:
先证等号成立的必要性:假设:成立;
再证充分性:
因此:[2]式成立必有;即信源为无记忆为充要条件。
证法二(类比法):
(I).证明:
即等号成立的充分必要条件是:信道的无记忆性。
(II).
以上不等式中等号成立的充要条件是:=;证明如下:
所以,只要保证信源无记忆,即:;则一定有:
即使得:成立,证毕。
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