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讲析04立体几何
一、知识网络
二、常考题型
三、知识梳理
1.平面的基本性质
(1)三个性质
如果直线l上的两个点都在平面α内,那么直线l上的所有点都在平面α内.
如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线
不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面
(2)三个结论.
直线与这条直线外的一点可以确定一个平面
两条相交直线可以确定一个平面
两条平行直线可以确定一个平面
2.异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
3.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
如果一条直线与一个平面没有公共点,那么就称这条直线与这个平面平行.直线与平面平行,记作∥.
(2)直线与平面平行的判定
如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.
(3)直线与平面平行的性质
如果一条直线与一个平面平行,并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线与交线平行.
4.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
如果两个平面没有公共点,那么称这两个平面互相平行.
平面与平面平行,记做∥.
(2)平面与平面平行的判定
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
(3)平面与平面平行的性质
如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行.
5.直线与平面垂直的判定与性质
1.直线与平面垂直的判定
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.
2.直线和平面垂直的性质
垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
6.面与平面垂直的判定与性质
1.平面与平面垂直的判定
一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直.
2.平面与平面垂直的性质
7.空间两条直线所成的角
1.定义:经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线,这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角
2.范围:
3.垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b.
8.直线与平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
一条直线与平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,如图中直线PA
斜足
斜线和平面的交点,图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影,图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
9.平面与平面所成的角
(1)二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的平面角
过棱上的一点,分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线,以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角
(3)二面角的范围
二面角取值范围是.
四、常考题型探究
考点一文字语言、符号语言和图形语言的相互转化
例1.如果A点在直线上,而直线在平面内,点在内,可以用集合语言和符号表示为(????)
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【答案】B
【解析】A点在直线上,而直线在平面内,点B在内,
表示为:,,.故选B.
例2.如图所示,用符号语言可表达为(????)
??
A.,, B.,,
C.,,, D.,,,
【答案】A
【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可.
【详解】如图所示,两个平面与相交于直线,直线在平面内,直线和直线相交于点,
故用符号语言可表达为,,,
故选:A.
【变式探究】1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是(B)
A.A∈l,l?α B.A∈l,l?α C.A?l,l?α D.A?l,l?α
考点二线线位置关系的判断
例3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有(C)
A.3条 B.4条
C.6条 D.8条
[解析]与AC1异面的棱有:A1D1,A1B1,DD1,CD,BC,BB1共6条.
例4.下列说法中正确的是(B)
A.若两直线无公共点,则两直线平行
B.若两直线不是异面直线,则必相交或平行
C.过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内任一直线均构成异面直线
D.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线
[解析]对于A,空间两直线无公共点,则两直线可能平行,可能异面,故A不正确;对于C,过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内过该点的直线是相交直线,故C不正确;对于D,和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线,如图的三棱锥A-BCD中,l1与l2为异面直线,BC与AC均与l1,l2相交,但BC与AC也相交,故D不正确.
【变式探究】1.在棱长为1的正四面体中,直线与是(????).
A.平行直线 B.相交直线
C.异面直线 D.无
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