材力讲稿第8章能量法8.1.ppt

【例8.6】图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求?B、?D。外力功:线弹性体系在外力系的作用下产生变形，每个外力在与它相对应的位移上所作的功W。有关的几个基本概念能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U在数量上与外力所作的功W相等，即 U＝W应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个被储存的能量即为应变能或变形能U。能量法：利用应变能的概念，解决与弹性系统变形有关的问题的方法。第八章能量法知识回顾基本变形杆的应变能1、轴向拉伸或压缩FL?LOB?LFA一般形式第八章能量法知识回顾2、圆截面杆的扭转m?LmOB?mA圆截面杆的应变能一般形式第八章能量法知识回顾3、平面弯曲纯弯曲梁的应变能：LmmoB?Am一般形式第八章能量法知识回顾应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)弹性体的应变能是一个状态量，决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。应变能为内力（或外力）的齐二次函数，故叠加原理在应变能计算中不能使用。第八章能量法知识回顾当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，例如：M(x)—只产生弯曲转角FN(x)—只产生轴向线位移T(x)—只产生扭转角不计FS产生的应变能！第八章能量法知识回顾组合变形杆的应变能三、卡氏定理下，在相应的力方向产生的位移为设在某弹性体上作用有外力,在支承约束(i=1,2,…,n)。可以证明：卡氏第二定理第八章能量法?卡氏定理证：再加增量，则应变能U的增量dU为梁的总应变能为：(I)考虑两种不同的加载次序。(1)先加，此时弹性体的应变能为U：第八章能量法?卡氏定理(a)在相应的位移上所作的功(2)先加，然后再加，此时弹性体的应变能由三部分组成：梁的总应变能为：(II)(b)在相应位移上所作的功：(c)原先作用在梁上的对位移所作的功第八章能量法?卡氏定理根据弹性体的应变能只决定于外力的最终值，而与加载的次序无关。(I)、(II)两式相等：略去二阶微量，化简后得：只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线性关系时，才能应用卡氏第二定理。应用卡氏定理求出为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。第八章能量法?卡氏定理卡氏第二定理的适用条件如何？另有：卡氏第一定理：卡氏第一定理适用于任意可变形固体，证明略。表明：线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一广义外力的变化率(偏导数)，等于与该广义外力相应的广义位移。卡氏第二定理表明：结构的应变能，对于结构上与某一广义外力相应的广义位移的变化率，等于该广义外力的值。第八章能量法?卡氏定理卡氏定理的特殊形式(1)横力弯曲的梁：对于刚架，若忽略轴力和剪力对于变形的影响，则也可应用上式计算变形。(2)小曲率的平面曲杆式中s—沿曲杆轴线的曲线长度。第八章能量法?卡氏定理(3)桁架(4)产生拉(压)、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆问题：上述定理适用于求力作用点处的位移，若要求弹性体上任一点（无Fi力作用在其上）的位移时，怎么做？第八章能量法?卡氏定理在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力或集中力偶；或一对力或一对力偶，此时应变能为：或若所得位移为正，则表示与附加力的方向一致；若为负值，则表示与虚加力的方向相反。附加载荷法由卡氏定理得：第八章能量法?卡氏定理【例8.5】图示水平放置的直角折杆，各杆的直径均为d，材料的弹性常数G=0.4E。试用卡氏第二定理求A端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。解：AB段的弯矩方程及其对F的偏导数分别为lCBAFlxxzyO（0≤x≤l），（0≤y≤l），，BC段的弯矩和扭矩方程及其对F的偏导数分别为第八章能量法?卡氏定理以前的做法如何？lCBAFlx故A端的铅垂位移为（↓）第八章能量法?卡氏定理解：