数学分析中求极限的方法总结.docx

数学分析中求极限的方法总结

利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：

定理1.1：如果limf（x）= ,limg（x）=

x x x x

0 0

limf(x) g(x) limf(x) limg(x)

x x x x x x

0 0 0

limf（x）g（x）=limf（x)limg(x)

x x x x x x

f(x)g(x)

f(x)

g(x)

limf(x)

x x

limg(x)

x x

0

0

若B≠0 则：lim

x x

0

limcf(x) climf(x) c

x x x x

0 0

limf(x)n

x x

0

n

limf(x)

x x

0

n（n为自然数）

上述性质对于x ,x ,x 也同样成立i

由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

例1. 求limx2 5的极限

x2x 3

解：由定理中的第三式可以知道

例2. 求lim

x 3

x 1 2

的极限

x 3

x 1 2解：分子分母同时乘以

x 1 2

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可

n例3. 已知x

n

1 1

12 2 3

1

n 1 n，求

limx

n n

解： 观察

1 =1

1 1 =1 1

1 = 1n 1 n n-11n12 2 2 3 2 3

1 = 1

n 1 n n-1

1

n

因此得到 x

1 1

n12 2 3

n

1

n 1 n

1

所以limx lim1 1

n n n n

利用导数的定义求极限

导数的定义：函数f(x)在x

0

附近有定义， ，则

如果

存在，

x

则此极限值就称函数f(x)在点0

的导数记为fx 。

0即

0

在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点x0

求lim

求limx 2 ctg2x的极限

x x

2

解：

limx

2

ctg2x

1

1

x

x

2

limtg2x

tg2x tg2

x

x

2

x

x

2

lim

2

x

x

2

x

2

例4.

利用两个重要极限公式求极限

两个极限公式：

（1）limsinx 1，

x 0 x

（2）

lim1 1x e

x x

但我们经常使用的是它们的变形：

sin

（1）lim

x

x 1, x 0 ，

1 x

（2）lim1 x

e, x 求极限。

例5：lim(

x 0

1 2x)1

x(1 x)

x

1

解：为了利用极限lim(1 x)x

x 0

e故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项

和括号外的指数互为倒数进行配平。

1 2x)1

3x 1

lim( x

x 0 (1 x)

=lim(1 )xx 0 1 x

3x 1 x 3

例6：lim1 cos x

x 0 x2

=lim[(1 )

x 0 1 x

3x]1 x e 3

解：将分母变形后再化成“0/0”型所以

= lim

2sin2 x

2

x 0 x2

x

1sin2 2 1

=lim

x 0

2 x 2

( )2

2

1

lim (1 2x)x

例7:求x0

的极限

1 1

lim

解：原式=x0

(1 2x)2x (1 2x)2x e2

利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。

4 利用函数的连续性

因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果f(x)是初等函数,且x0是f(x)的

定义区间内的点,则limf(x) f(x)

例8：limarcsin

x 1

0 。

x x0

2x 1

6

解:因为复合函数arcsin是初等函数,而x 1是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此

例8：求limlnsinx

x

2

解：复合函数lnsinx在x 2处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值

即有limlnsinx lnsin

x

2

=limsin

=0

2

ln1

2

5 利用两个准则求极限。

n且n n（1） 函数极限的迫敛性：若一正整数N,当nN时，有

n

且

n n

limx limz a,则有limy a

x n x n x n 。

利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相

同极限值的数