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第1课时函数的单调性第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1函数的单调性与最值学习任务核心素养1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(难点)3.会求一些具体函数的单调区间.(重点)1.借助单调性的证明,培养逻辑推理素养.2.利用求单调区间及应用单调性解题,培养直观想象和数学运算素养.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究,并给出了类似下图所示的记忆规律.必备知识·情境导学探新知如果我们以x表示时间间隔(单位:h),y表示记忆保持量,则不难看出,图中y是x的函数,记这个函数为y=f(x).这个函数反映出记忆具有什么规律?我们用数学语言如何描述该规律?知识点1增函数与减函数的定义函数增函数减函数图示??条件设函数f(x)的定义域为D,区间I?D:如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1x2时,都有___________都有______________f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)函数增函数减函数结论f(x)是区间I上的增函数,也称f(x)在区间I上单调____f(x)是区间I上的减函数,也称f(x)在区间I上单调____递增递减思考在增函数和减函数定义中,能否把“任意x1,x2∈I”改为“存在x1,x2∈I”?举例说明.提醒增、减函数定义中x1,x2的三个特征(1)任意性,即“任意两个值x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1x2;(3)属于同一个单调区间.体验1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)所有的函数在定义域上都具有单调性. ()(2)若函数y=f(x)在定义域上有f(1)f(2),则该函数是增函数. ()(3)若f(x)为R上的减函数,则f(0)f(1). ()××√知识点2函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I叫作y=f(x)的________.单调区间提醒对函数单调性的理解(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题,所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间I?定义域D.(3)遵循最优原则,单调区间应尽可能大.体验2.函数y=f(x)的图象如图所示,其单调递增区间是()A.[-4,4]B.[-4,-3]∪[1,4]C.[-3,1]D.[-3,4]C[由图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1],选C.]√(-∞,0)和(0,+∞)关键能力·合作探究释疑难反思领悟利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1x2.(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.(3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号.(4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.提醒:作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.反思领悟求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解.(2)利用函数的图象,如本例(3).提醒:若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如本例(1)和(3).[跟进训练]2.(1)如图所示,写出在每一单调区间上函数的单调性;(2)写出y=|x2-2x-3|的单调区间.类型3函数单调性的应用【例3】(1)若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是_________________.(2)已知函数y=f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,且f(2x-3)f(5x-6),则实数x的取值范围为____________.(-∞,-4](-∞,1)(1)决定二次函数单调性的因素有哪些?由此思考该因素与区间(-∞,3]存在怎样的数量关系?(2)若f(x)是定义域
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