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数学外面的世界：日本小学数学教材中几何作图内容的特征与启示

作图是数学思想的一种表征形式，也是用图形这种数学语言表达现实世界的一种方式。我国2022年版课标在小学阶段对作图给予了新的重视，首次提出了“用直尺和圆规作图”，但是目前教材中的尺规作图内容并不多，更多的是几何作图。

本文中所说的几何作图包含尺规作图，是指使用刻度尺、直尺（本文中提到的直尺均为无刻度直尺）、量角器、圆规等作图工具，绘制与几何知识相关的图形，即在尺规作图的基础上，可以有量的参与，包括长度和角度等。例如，2022年版课标在第二学段的“学业要求”中指出：“能用直尺和量角器画出指定度数的角；会用三角板画30°，45°，60°，90°的角。”这也提醒教材编写者要考虑相应的内容如何编写。那么新的理念下，我们该如何重新认识几何作图呢？不同国家小学数学教材中的几何作图内容不太一样，翻阅日本启林馆版教材，发现其中的几何作图与我国当下教材中的内容相比，有很大的不同，颇有研究的价值。因此，我们选取日本启林馆最新版小学数学教材一到六年级共9册（一、五、六年级各1册，其他年级各2册），采用文本分析和数据统计的方法，对其中的几何作图进行统计和分析，发现其内容编排、选取与呈现的特征，以期为我国小学数学教材中几何作图内容的编写与教学提供借鉴与参考。

一、启林馆版教材的特征

（一）整体编排特征。??????????

启林馆版教材中，几何作图共13处（习题除外），分布较为平均，除一年级外各年级均涉及作图要求，其中二年级2处，三年级2处，四年级4处，五年级3处，六年级2处（详见表1）。

注：启林馆版教材以年级为单位进行单元序号编排。

由表1可以看出，启林馆版教材中的几何作图起步较早，整体内容较多，分布于二年级到六年级，从作线、三角形、长方形与正方形、圆、角、平行四边形与菱形等到作全等图形、缩放图形，可以说涵盖了我国小学阶段的所有平面图形，且涉及了初中几何的知识，足见对几何作图的重视。对于作图工具，并不局限于直尺与圆规，刻度尺、量角器、方格纸等都是学生进行几何作图时可以使用的工具。

（二）内容选取与呈现特征。?????

1.注重介绍工具的功能和使用方法。

对于操作性知识，工具的使用方法很重要，启林馆版教材重视工具的功能与使用方法的介绍。例如，三年级下册“圆与球”单元中，对于圆规的使用方法，教材上分步骤进行了详细介绍（如图1）。学习画圆之后，专门有一节圆规的使用课，即讲授利用圆规除了可以画圆，还可以记录线段的长度，并给出情境，让学生在情境中使用圆规记录长度、比较长度。最后的学习总结中，还有提示“当我知道圆规不仅可以画圆，还可以测量长度时，我觉得它是一个很方便的工具”（如图2）。

除此之外，对于圆规的使用方法，教材上还在这部分内容的旁边附加了二维码，扫二维码就可以看到使用视频，视频和教材中都给出了左手和右手使用圆规的情形，体现了教材设计者的人文关怀。关于其他基本工具的使用、基本图形如线段的画法等，启林馆版教材都有相应的电子资源，供学生学习时参考。

2.注重利用多种方法完成几何作图。

很多几何作图任务的完成不止一种方法，启林馆版教材非常注重利用多种途径、多种方法完成几何作图。

例如，四年级上册第5单元“垂直、平行与四边形”中，在第6节给出任务：在作出一角及角的两边，即确定了三个顶点的基础上，如何确定第四个顶点，从而作出平行四边形？教材上呈现了两种方法：其一，使用一对三角板分别作已知角的两边的平行线，这两条线的交点就是第四个顶点，依次连接四个顶点即可得平行四边形；其二，使用圆规截取已知两边的边长，以相应定点为圆心分别作弧，找到交点，即找到第四个顶点，依次连接四个顶点即可得平行四边形。这两种方法使用了不同的工具，呈现出两种思路：一是利用平行四边形的对边平行，二是利用平行四边形的对边相等，这也是引导学生学习的平行四边形的性质（特征）。

再如，三年级下册第17单元“三角形”中呈现出两种得到等腰三角形的方法：其一，用圆规截取定长的腰，分别以底边的两个端点为圆心作弧，找到两条弧的交点，连接交点与底边的两个端点可得等腰三角形；其二，在圆的内部以两条半径为两腰，连接半径与圆周的两个交点可得等腰三角形（如图3）。这两种方法显示了不同的思路：一是利用交轨法，二是利用圆的半径相等，这也是引导学生学习的圆的基本性质。

教材中将作图与图形的性质相关联，不同的作图思路体现了学生对图形性质的理解和应用的不同方面，学生调动已有知识，选择工具，在动脑、动手的过程中完成任务，不仅提高了发散思维能力，也加深了对作图工具的认识。

3.作图步骤详细。

对小学生来说，几何作图步骤非常重要，作图步骤体现的是思维过程，步骤不同，则思维过程不同，呈现详细的作图步骤，体现了教材的严谨性。启林馆版教材中都呈现了