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三重积分及其计算
一、三重积分概念
将二重积分定义中积分区域推广到空间区域，被积函数推广到三元函数，就得到三重积分定义
第1页
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其中dv称为体积元，其它术语与二重积分相同
若极限存在，则称函数可积
若函数在闭区域上连续，则一定可积
由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同性质
三重积分物理背景
以f(x,y,z)为体密度空间物体质量
下面我们就借助于三重积分物理背景来讨论其计算方法。
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二、在直角坐标系中计算法
假如我们用三族平面x=常数，y=常数,z=常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体
其体积为
故在直角坐标系下面积元为
三重积分可写成
和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算
详细可分为先单后重和先重后单
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①先单后重
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——也称为先一后二，切条法（先z次y后x）
注意
用完全类似方法可把三重积分化成其它次序下三次积分。
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化三次积分步骤
⑴投影，得平面区域
⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限
对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分方法
解
在D内任意固定一点（x,y)作平行于z轴直线
交边界曲面于两点，其竖坐标为l和m（lm)
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o
x
y
z
m
l
a
b
c
d
D
。(x,y)
例2计算
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D
x
y
z
o
解
画出区域D
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解
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第11页
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除了上面介绍先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分
先重后单，就是先求关于某两个变量二重积分再求关于另一个变量定积分
则
②先重后单
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易见，若被积函数与x,y无关，或二重积分轻易计算时，用截面法较为方便，
就是截面面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算
尤其当f(x,y,z)与x,y无关时
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例5计算
解
故
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例6
解一
解二
先单后重
先重后单
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（用极坐标，用对称性）
此例介绍是一个计算三重积分方法，这种方法也含有一定普遍性，这就是我们将要介绍柱坐标系下计算法
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三、小结
三重积分定义和计算
（计算时将三重积分化为三次积分）
在直角坐标系下体积元素
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思索题
选择题:
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练习题
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练习题答案
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