数列分组求和法.docx

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

分组求和法

典题导入

} a a a[例1] (2011·山东高考)等比数列{

} a a a

n 1 2 3

1 2 3一个数，且a，a，a中的任何两个数不在下表的同一列

1 2 3

第一列

第二列

第三列

第一行

3

2

10

第二行

6

4

14

第三行

9

8

18

求数列{an}的通项公式；

n n n n 2n若数列{bn}满足：b＝a＋(－1)nlna，求数列{b}的前2n项和

n n n n 2n

1[自主解答] (1)当a＝3时，不合题意；

1

11 2 3当a＝2时，当且仅当a＝6，a＝18时，符合题意；当a＝10

1

1 2 3

1 2 3 n因此a＝2，a＝6，a＝18.所以公比q＝3，故a＝2·3n－1

1 2 3 n

n n n(2)因为b＝a＋(－1)nlna＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3

n n n

2n 1 2 2n所以S ＝b＋b＋…＋b ＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋－12n](ln2

2n 1 2 2n

2n]× 2n1－32n＋[－1＋2－3＋…＋－12n ln3＝2 ＋nln3＝3 ＋nln

2n]

× 2n

1－3

由题悟法

分组转化法求和的常见类型

n n n n n n若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a}的前n

n n n n n n

通项公式为a

??b

＝?

，为奇数，

nn

n

的数列，其中数列{b

}，{c

}是等比数列或等差数

nn ??c，n为偶数 n n

n

列，可采用分组求和法求和．

以题试法

1 nx x x1．(2013·威海模拟)已知数列{xn}的首项x＝3，通项x＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)

1 n

x x x

1 4 5

p，q的值；

数列{xn}前n项和Sn的公式．

任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。 1

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

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任何知识都不能带给你好运，但是它们能让你悄悄的成为你自己。

解：(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.

＋n，所以S

＋…＋2

＋1－2＋n?n＋1?

nn(2)由(1)，知x＝2n

n

n

＝(2＋22

n)＋(1＋2＋…＋n)＝2n 2 .

n S1 1 1 1

n S

2.数列1，3，5，7 ，…的前 项和

为( )．

2 4 8 16 n

1

A．n2＋1－

1

B．n2＋2－

2n－1 2n

1

C．n2＋1－

1

D．n2＋2－

2n

＝2－1＋，解析 由题意知已知数列的通项为a n 1

＝2

－1＋

，

2n－1

n 2n

1?1－1?

2?

2?

则S＝

1＋2n－1 ?

＋

?

2n?

1

＝n2＋1－ .

n 2 1 2n1－

2

答案 C

已知等差数列{a}的前n项和为S，且a＝5，S

＝225.

n

求数列{a}的通项公式；

n

n 3 15

设b＝2a＋2n，求数列{b}的前n项和T.

n n n n

解析：(1)设等差数列{a}的首项为a，公差为d，

n 1

?a＋2d＝5，

由题意，得?

1

?a 15×14

?

15＋

1

2 d＝225，

?a＝1，

解得?1

∴a＝2n－1.

?d＝2， n

(2)∵b＝2a＋2n＝

n n

1

·4n＋2n，2

∴T＝b＋b＋…＋b

n 1 2 n

1

＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)

2

4n＋1－4 2 2

＝ ＋n2＋n＝·4n＋n2＋n－.6 3 3

设{a}是公比为正数的等比数列，a＝2，a＝a＋4.

n

求{a}的通项公式；

n

1 3 2

设{b}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a＋b}的前n项和S.

n n n n

解析 (1)设q为等比数列{a}的公比，则由a＝2，a＝a＋4得2q2＝2q＋4，即

n 1 3 2

q2－q－2＝0，解得