中考数学“动点问题”例析.docx

中考数学“动点问题”例析

南安市梅岭中学 张子源

动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。

一、 与三角形有关的动点问题

1、例题：

(05重庆课改)如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动

点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B

开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．

yQB求直线AB

y

Q

B

当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

A24

A

当t为何值时，△APQ的面积为5个平方单位？

P

解：（１）设直线AB的解析式为y＝kx＋b O x

由题意，得 b＝6

8k＋b＝0 y

3

解得 k＝－4

b＝6 A

3

所以，直线AB的解析式为y＝－4x＋6． P Q

（２）由 AO＝6，BO＝8得 AB＝10 O x

所以AP＝t，AQ＝10－2t B

yQ1°当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB

y

Q

t 10?2t 30

所以 ＝

6 10

解得 t＝11(秒)

2°当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB． A

t 10?2t 50

所以 ＝

10 6

解得 t＝13(秒) P

yBQB（３）过点Q作QE垂直AO于点E

y

B

Q

B

BO 4

在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝

＝

AB 5

A4 8

A

在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)· ＝8－ t

5 5

1 1 8 P

所以，S△APQ＝2AP·QE＝2t·(8－5t) E

4t2 24 O x

＝－5 ＋4t＝5

解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．

2、练习：

（2006浙江台州）如图(1)，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连结

BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E.

△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论;

y

随着点C位置的变化，点E的位置是否 E

会发生变化?若没有变化，求出点E的坐标；

若有变化，请说明理由. A C

O x

B

二、与四边形有关的动点问题

1.例题：

（2006晋江）在平行四边形ABCD中，AD=4cm，

∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.(1)当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

D

图(1)

(2)当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.

①求S关于t的函数关系式；②(附加题)求S的最大值。

解题思路：第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2cm，由

∠A=60°，知AE=1，PE=

.∴S = 3

3ΔAPE 2

3

第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论，P点从A→B→C一共用了12秒，走了12cm，Q点从A

→B用了8秒，B→C用了2秒，所以t的取值范围是0≤t≤10

不变量：P、Q点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2

若速度有变化，总路程=变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间

+变化后的速度×（t－变化点所用时间）如当8≤t≤10时，点Q所走的路程AQ=1×8+2（t

－8）=2t-8

①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD

3交于点F，则AQ=t，AF=t，QF=3