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《算法与信息学竞赛》
第二版
教学幻灯片
图论
(
内容介绍
一、最小生成树
二、唯一性判定
三、K小生成树
四、最小度限制生成树
五、最小比率生成树
六、逆向最小生成树
一、最小生成树
•连接每个点的连通图（一定是树）
•权和尽量小
•算法：
–一般算法
–Boruvka
–Prim
–Kruskal
一般最小生成树算法
•前提:无相等边
•生成森林F
•e为无用边,若e的两个端点在F的同一个分
量中,但e不在F中
•对于F的每一个分量
–从它出去(即恰好有一个端点在此分量内)的最
小边为安全边
–不同的分量可以有相同的安全边
•结论:MST含有所有安全边,不含无用边.
一般最小生成树算法
•结论:MST含有所有安全边,不含无用边.
•证明
–假设有一个分量(),它的安全边e不在T内.则u到
v有唯一路径,它经过e’,它恰好有一个端点在分
量中.由于e是安全边,w(e)w’(e),用e替换e’得到更
小的T’,
–加入无用边将形成环
Boruvka算法
•由Boruvka于1926年提出(早于图论产生!)
Boruvka算法
•每个分量设置’leader’,用DFS在m时间内求出
•检查每条边一次以修正各分量的安全边权
•第i次迭代每个分量大小至少为2i
•最多logV次迭代,总O(ElogV)
Prim算法
•只关心一棵树T,每次加入T的安全边
•用堆保存到每个顶点(而非边)的安全边
•Insert/ExtractMin调用V次,DecreaseKey调用E次
•二叉堆:O((E+V)logV),Fibonacci堆:O(E+VlogV)
Prim算法
•算法框架
Kruskal算法
•把边从小到大排序,一般情况为O(ElogE)
•每次填加一个安全边
•如何知道边是否安全?并查集,每次约O(1)
二、MST唯一性判定
•考虑一般最小生成树算法
•每一个分量出发安全边唯一,不特殊处理,否则
–若同时添加会形成环,一定不唯一
–若同时添加不会形成环,类似正确性证明,即:
•假设某边e不在T中,对应的e’一定比e大而不可能相等
二、MST唯一性判定
•时间复杂度
–Boruvka:不变(只在和安全边比较时修改)
–Prim:不变(只在判断顶点标号时修改)
–Kruskal:不变(相等的边时特殊处理)
•另一种思路:最小第二小
三、K小生成树
•交换：(+e,-e’)
•思路：前k小生成树集合的“邻树集”中最
小的一个可作为第k小生成树
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