2024届重庆市九龙坡区高三下学期第三次学业质量抽测考试（5月）数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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重庆市九龙坡区2024届高三下学期第三次学业质量

抽测考试（5月）数学试卷

一、选择题

1.已知集合，则满足的集合共有（）

A.1个 B.3个 C.4个 D.8个

〖答案〗C

〖解析〗由，可得，

所以，

所以中一定有，可能有，

故的个数为个.

故选：C.

2.设是关于的方程的两根其中，若（为虚数单位）.则（）

A. B. C. D.2

〖答案〗A

〖解析〗因为关于的方程的一个根为，

所以另一个根，

所以.

故选：A.

3.已知，，，则向量的夹角为（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗由，得，

由，得，

即，所以，

所以，

又，所以向量的夹角为.

故选：D.

4.已知函数，则“”是“的图象在区间上只有一个极值点”的（）

A.充分条件 B.必要条件

C.充要条件 D.非充分非必要条件

〖答案〗A

〖解析〗当时，又，所以，

若的图象在区间上只有一个极值点，

则，解得，

因为真包含于，

所以是的图象在区间上只有一个极值点的充分不必要条件．

故选：A

5.用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的条件下，数字2，4，6也相邻的概率为（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗设“数字1，3相邻”，设“数字2，4，6相邻”，

则数字1，3相邻时的六位数有个，

数字1，3相邻，数字2，4，6也相邻的六位数的个数为，

则.故选：A.

6.正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（）

（参考数据：，，）

A.10 B.9 C.8 D.7

〖答案〗C

〖解析〗设，则，

因为，

可知数列为递增数列，

且，，

可知，所以.

故选：C.

7.若方程在的解为，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗B

〖解析〗当时，，

因为方程在的解为，

结合正弦函数的图象，令，则，

根据对称性可知，，即，

又，即，

所以，

所以，

，

所以，

，

故.故选：B.

8.已知椭圆：的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，，分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗由已知的，故.∵的面积为，

∴，∴.又∵，

∴，，

∴，

又，∴，

∴.∴的取值范围为.

故选：D.

二、选择题

9.已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（）

A.数据，，的平均数为6

B.数据，，的方差为9

C.数据的方差为1

D.数据的平均数为5

〖答案〗BD

〖解析〗因为样本数据的平均数为2，方差为1，

所以数据，，的平均数为，故A错误；

数据，，的方差为，故B正确；

，，

数据的平均数为，

所以方差，故C错误；

由，，

得，所以，

所以数据的平均数为，故D正确.

故选：BD.

10.在棱长为2的正方体中，P，E，F分别为棱的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是（）

A.直线平面

B.直线与平面所成角的正切值为

C.三棱锥的体积为

D.三棱锥的外接球表面积为

〖答案〗ABD

〖解析〗由题意，在正方体中，棱长为2，分别为棱的中点，为侧面的中心，建立空间直角坐标系如下图所示，

则

对于A项，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

所以平面的一个法向量为，

又，因为直线平面，

所以直线平面，A正确；

对于B项，，

设平面的一个法向量为，

则，取，所以平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，

所以，所以，

故，故B正确；

对于C项，，故C不正确；

对于D项，如图，

三棱锥恰好在长方体上，且为体对角线，

所以为三棱锥外接球的直径，由几何知识，

所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确.

故选：ABD.

11.已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（）

A. B.

C. D.

〖答案〗BCD

〖解析〗由，

令，则，

因为，所以，故A错误；

令，则，①

所以，

因为为奇函数，所以为偶函数，，

所以，②

由①②并整理得，

即，

所以，

所以是周期为的周期函数，故，故B正确；

因为，所以，故C正确；

由上知，

在①中，令，得，所以，

所以，

所以，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

12.展开式中的常数项为__________.

〖答案〗

〖解析〗由题