线段和最小问题.doc

“求两线段长度值和最小”问题全解

一、在三角形背景下探求线段和的最小值

1.1在锐角三角形中探求线段和的最小值

例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，那么BM+MN的最小值为????????????．

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1.2在等边三角形中探求线段和的最小值

例2〔2010山东滨州〕如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.假设AE=2,EM+CM的最小值为????????.

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二、在四边形背景下探求线段和的最小值

2.1在直角梯形中探求线段和的最小值

例3〔2010江苏扬州〕如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值

例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，那么PA+PB的最小值为?????????????．

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2.3在菱形中探求线段和的最小值

例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，那么PE+PB的最小值为???????????．

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2.4在正方形中探求线段和的最小值

例6如图6所示，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值为???????????．

例7〔2009?达州〕如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，那么△PBQ周长的最小值为???????????????????cm．〔结果不取近似值〕．

三、在圆背景下探求线段和的最小值

例8〔2010年荆门〕如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，那么PA＋PB的最小值为(???)

(A)2???(B)????(C)1???(D)2

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在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值

例9〔2010山东济宁〕如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=〔k≠0〕在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，三角形OAM的面积为1.

〔1〕求反比例函数的解析式；

〔2〕如果B为反比例函数在第一象限图象上的点〔点B与点A不重合〕，且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.

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五、在二次函数背景下探求线段和的最小值

例10〔2010年玉溪改编〕如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为〔1，〕，△AOB的面积是.

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〔1〕求点B的坐标；〔2〕求过点A、O、B的抛物线的解析式；

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〔3〕在〔2〕中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，请说明理由；

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六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值

例11〔2010年天津〕如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

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〔1〕假设E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

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〔2〕假设E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

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综合练习

10-1．如图，两点A、B在直线的异侧，A到直线的距离AM=4，B到直线的距离BN=1，MN=4，点P在直线上运动，那么的最大值为〔〕

A5B

CD6

10-2．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，那么EC+ED的最小值为〔〕

A2B

CD

10-3．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=4，AB=8，P为AB上一点，假设△PAD与△PBC相似，那么这样的P点有〔〕

A1个B2个

C3个D4个

10-4．四边形ABCD为菱形，E为BC边上中点，P为对角线BD上一点，要使PE+PC最小，那么应满足〔〕

APE=PCBPE⊥PC

CPB=PDD∠BAE=∠BCP

10-5．如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，

AD⊥AB，点P