大数定律及中心极限定理.ppt

;§5.1大数定律

大数定律的客观背景是大量的随机现象中平均结果的稳定性。例如，大量抛掷硬币正面出现频率趋于1/2。

常见的大数定律有如下几个。

;切比雪夫大数定律可用切比雪夫不等式来证明。

设随机变量X有期望E(X)和方差?2，则对于任给?0,

;切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序{Xn}，如果方差有共同的上界，则当n充分大时，前n个随机变量的算术平均?Xi/n与其数学期望?E(Xi)/n偏差很小的概率接近于1。即?Xi/n差不多不再是随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1。

切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述。

作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理2。;定理2（独立同分布下的大数定律）;定理3（贝努里大数定律）

设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的?0，;贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小。

贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法。

;设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=，i=1,2,…，则对任给?0，;§5.2中心极限定理

在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响。例如，炮弹射击的落点与目标的偏差，受到诸如瞄准时的误差、空气阻力所产生的误差、炮弹或炮身结构所引起的误差等许多随机因素的影响。重要的是这些随机因素的总和。

观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大，则这种量一般都服从或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理的客观背景。;的分布函数的极限。;可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布。这就是下面要介绍的中心极限定理。

定理1（独立同分布下的中心极限定理）

设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=?，D(Xi)=?2(i=1,2,…)，则;定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）

设随机变量Yn服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有

;例1.某车间有同型号的机床200不，每部开动的概率为0.7。假定各机床的工作是独立的，且开工时需要电能15个单位。问至少要给这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产？;根据中心极限定理，;例2.有一大批种子，其中良种占1/6。现在其中任选6000粒，能以99%的把握来判断在这6000粒中良种所占比例与1/6之差是多少？良种数落在哪个范围？;所以