第18届华杯赛初赛试题解答(高小C).doc

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初赛试题C〔小学高年级组〕

〔时间:2013年3月23日〕

一、选择题(每题10分,总分值60分.以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)

如果〔其中m与n为互质的自然数〕,那么m+n的值是〔〕.

〔A〕1243〔B〕1343〔C〕4025〔D〕4029

解答:B

甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水,然后他们又分别做了以下事情:

再参加

再参加50克含糖率20%的糖水.

再参加20克糖和30克水.

再参加100克糖与水的比是2:3的糖水.

最终,〔〕得到的糖水最甜.

〔A〕甲〔B〕乙〔C〕丙〔D〕乙和丙

解答：C。

根据题意和我们所学过的公式，可以分别求出三人得到的糖水的最终浓度！

(1)甲配得的糖水含糖率：;

(2)乙配得的糖水含糖率：;

(3)丙配得的糖水含糖率：.

所以，丙最甜！其实我们还可以用另一种方法来解答，如果对概念理解的比拟清晰的话，我们可以知道，向共同的糖水中加另一种糖水，加的糖水的浓度越大，糖水质量越多就越甜。甲又参加的是浓度为：20%的糖水50克

乙又参加的是浓度为20÷〔20+30〕=40%的糖水50克

丙又参加的是浓度为2÷〔2+3〕=40%的糖水100克

很明显，丙往里面加的糖水更甜，更多，所以最甜的一定是丙。

一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬,它每向上爬3米,因为井壁打滑,就会下滑1米,下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一.8点17分时,青蛙第二次爬至离井口3米之处,那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为〔〕分钟.

〔A〕22〔B〕20〔C〕17〔D〕16

解答：A。

无论上还是下，每一米所用的时间都是一样的，根据题意，每向上爬3米会下降1米，我们列一个表格。

青蛙实际高度

3

2

5

4

7

6

9

8

9

11

10

12

向上爬

3

0

3

0

3

0

3

0

1

2

0

2

向下滑

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

从上表可以看出，当第二次到达了离井口3的地方的时候，青蛙运动了，3×4+1+1×4=17米。而当这只青蛙跳出井口的时候共走了3×5+2+1×5=22米。根据题意17÷17×22=22分钟。

正整数A分解质因数可以写成,其中、、是自然数.如果A的二分之一是完全平方数,A的三分之一是完全立方数,A的五分之一是某个自然数的五次方,那么的最小值是〔〕.

〔A〕10〔B〕17〔C〕23〔D〕31

解答：D。

根据“A的二分之一是完全平方数”可以知道，〔-1〕、、都是2的倍数。

根据“A的三分之一是完全立方数”可以知道，、〔-1〕、都是3的倍数。

根据“A的五分之一是某个自然数的五次方”可以知道，、、〔-1〕都是5的倍数。

同时满足三个条件的的最小值恰好是[3,5]=15；的最小值恰好是[2,5]=10；的最小值恰好是[2,3]=6。所以，的最小值是15+10+6=31。

今有甲、乙两个大小相同的正三角形,各画出了一条两边中点的连线.如图,甲、乙位置左右对称,但甲、乙内部所画线段的位置不对称.从图中所示的位置开始,甲向右水平移动,直至两个三角形重叠后再离开.在移动过程中的每个位置,甲与乙所组成的图形中都有假设干个三角形.那么在三角形个数最多的位置,图形中有〔〕个三角形.

〔A〕9〔B〕10〔C〕11〔D〕12

解答：C。

可以把所有的情况都画出来然后通过比拟找出三角形最多的图形，再仔细的数一下，发现有11个，所有的图如下：

还有一种方法，如果没有三角形内部的两条线捣乱的话，那么这个题就简单多了，我们从简单的情况入手！当没有三角形内部的两条线时，这两个三角形在移动的过程中，最多可以有8个三角形〔如图1〕，在这种情况下再按照题中条件，再填两条线，在不与已有边重合的情况下，至少多2个三角形〔如图2〕，而最多只能多3个〔如图3〕。

从1～11这11个整数中任意取出6个数,那么以下结论正确的有〔〕个.

①其中必有两个数互质;

②其中必有一个数是其中另一个数的倍数;

③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.

〔A〕3〔B〕2〔C〕1〔D〕0

解答：B。

对于“任意…必有”这样的语句，应该考虑到“抽屉原理”。如果需要证明结论正确的话，那就要构造抽屉，而抽屉的个数，应该是小于6的！看题：

第一句说必有两个数互质，如果这是正确的话，那么就要构造出小于6的抽屉，且每一组抽屉中的数一定是两两互质的，而很容易想到，每相邻的两个数都是互质的，所以可以这样构造〔1,2,3〕〔4,5〕〔6,7〕〔8