数学建模3.1量纲分析法.ppt

作业P602，4**3.1量纲分析法建模物理量的量纲长度l的量纲记L=[l]质量m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]动力学中基本量纲M,L,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a的量纲[a]=LT-2力f的量纲[f]=MLT-2万有引力常数G的量纲[G]对无量纲量?，[?]=1(=M0L0T0)=[f][l]2[m]-2=M-1L3T-2量纲齐次原则等式两端每一项的量纲必须一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动lmgm求摆动周期t的表达式设物理量t,m,l,g之间有关系式?1,?2,?3为待定系数，?为无量纲量(1)的量纲表达式对比对x,y,z的两组测量值x1,y1,z1和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式为单摆运动中t,m,l,g的一般表达式y1~y4为待定常数,?为无量纲量设f(q1,q2,?,qm)=0ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(?1,?2,…,?m-r)=0与f(q1,q2,?,qm)=0等价,F未定Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,?,Xn是基本量纲,n?m,q1,q2,?,qm的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有m-r个基本解，记作为m-r个相互独立的无量纲量,且则[l]=L,[v]=LT-1,[?]=ML-3,[p]=ML-1T-2,[?]=ML-1T-1,[g]=LT-2量纲分析示例：管道内不可压缩粘性流体的压强差管道两端

压强差p管道长l,流速v,粘性系数?,

密度?重力加速度g。m=6,n=3选取物理量Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys=(ys1,ys2,…,ysm)Ts=1,2,…,m-rm-r个无量纲量F(?1,?2,?3)=0与?(l,v,?,p,?,g)=0等价为得到差p的显式表达式F=0?未定F(?1,?2,…,?m-r)=0与f(q1,q2,?,qm)=0等价[g]=LT-2,[l]=L,[?]=ML-3,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=MLT-2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力f航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度?,重力加速度g。m=6,n=3Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys=(ys1,ys2,…,ysm)Ts=1,2,…,m-rm-r个无量纲量F(?1,?2,?3)=0与?(g,l,?,v,s,f)=0等价为得到阻力f的显式表达式F=0?未定F(?1,?2,…,?m-r)=0与f(q1,q2,?,qm)=0等价3.2量纲分析在物理模拟中的应用例:航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力~模型船的参数(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力~原型船的参数(f1未知，其他已知)注意：二者的?相同结论：按一定尺寸比例造模型船，量测f，

可算出f1~物理模拟量纲分析法的评注物理量的选取基本量纲的选取基本解的构造结果的局限性?(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n;选哪些基本量纲有目的地构造Ay=0的基本解方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识3.3无量纲化方法无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可将按量纲齐次原则构成的方程简化为一个与其等价但比它简单的方程。利用无量纲化方法也可以使某些数学问题简单。例1：简化非线性参数方程5个参数u-v无量纲化范式化卡丹公式（CardanosFormula）此模型有2个参数，且数量级不