2025届新高考数学专题复习专题37数列求和中的不等式问题教师版.docxVIP

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专题37数列求和中的不等式问题

一、题型选讲

题型一、数列中与不等式有关的证明问题

例1、【2024年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满意．

（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差，证明：．

【解析】（Ⅰ）由得，解得．

由得．

由得．

（Ⅱ）由得，

所以，

由，得，因此．

例2、（河北省衡水中学2024届上学期高三年级二调考试）甲、乙两名同学在复习时发觉他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，详细如下：等比数列的前项和为，已知，

(1)推断的关系并给出证明．

(2)若，设,的前项和为，证明：

甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是成等差数列．

假如甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．

【解析】：补充的条件为，的关系为成等差数列．

证明如下：

由题意可得，，

，

可得，因此成等差数列．（5分）

(2)证明：由，可得,

解得（6分）

，（7分）

则,,

上面两式相减，

可得（9分）

整理可得,(11分)

因为,，所以(12分)

例3、（2024·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：当时，

【解析】（1）由，得，即，

所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，

所以，即，

当时，，

当时，，也满意上式，所以；

（2）当时，，

所以

题型二、数列中与不等式有关的参数问题

例4、【2024年高考江苏卷】已知集合，．将的全部元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为___________．

【答案】27

【解析】全部的正奇数和根据从小到大的依次排列构成，在数列|中，25前面有16个正奇数，即.当n=1时，，不符合题意；当n=2时，，不符合题意；当n=3时，，不符合题意；当n=4时，，不符合题意；……；当n=26时，，不符合题意；当n=27时，,符合题意.故使得成立的n的最小值为27.

例5、【2024届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则满意不等式的的最小值为__________.

【答案】12

【解析】因为，，成等差数列。所以等比数列的公比.

由题得

因为，所以

因为时，，

时，.

所以的最小值为12.

故答案为：12

例6、（2024届山东试验中学高三上期中）设正项数列的前n项和为，已知

(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式

(2)设数列的前n项和为，且，若对随意都成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）证明:∵，且，

当时，，解得．

当时，有即，即．于是，

即．

∵，∴为常数

∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．

（2）由（1）可得：，

∴

，即对随意都成立，

①当为偶数时，恒成立，

令，

，

在上为增函数，

②当为奇数时，恒成立，又，在为增函数，

∴由①②可知：

综上所述的取值范围为:

例7、（2024届浙江省之江教化评价联盟高三其次次联考）已知数列满意，，正项数列满意，且是公比为3的等比数列.

（1）求及的通项公式；

（2）设为的前项和，若恒成立，求正整数的最小值.

【解析】（1）正项数列满意，且是公比为3的等比数列，

可得，则，

，可得，

当时，又，

相除可得，即数列的奇数项、偶数项均为公比为3的等比数列，

可得.

（2）当为偶数时，

，

由，解得，

当为奇数，，

由，解得，

综上可得.

二、达标训练

1、（2024·浙江省温州市新力气联盟高三上期末）已知数列满意：，，若对随意的正整数，都有，则实数的取值范围（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

又在区间上单调递增，

，

实数的取值范围，

故选：．

2、（2024届浙江省温丽联盟高三第一次联考）数列的前项和为，，，则__________；若时，的最大值为__________.

【答案】26807

【解析】∵，，

∴，，，，，……

∴；

由可知，，

故时，的最大值为807；

故答案为：26；807．

3、【2024届河北省衡水中学全国高三期末大联考】已知等比数列的前n项和为，，，且，则满意不等式成立的最小正整数n为________.

【答案】

【解析】设数列的公比为q，由，，

得，所以或，

又因为，所以，

从而，

所以.

令，

又因为，所以.

故答案为:6

4、（2024届江苏基地学校高三第一次大联考）已知数列的前n项和为，且，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求证：．

【解析】（1）因为，所以当时，，即．