2024_2025学年高一数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练复数素质能力提高竞赛综合测试含解析.docxVIP

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高一复数素养实力提高竞赛综合测试

第I卷（选择题）

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，再分和分别求解可得，再依据与的关系，逐个选项代入推断即可

【详解】已知方程为一元二次方程，则．

首先计算方程的根的判别式，并进行分类探讨．

第一种状况，若，即，则，

解得．

其次种状况，若，即，则，

解得，故综合上述两种状况，才能满意不等式成立．

而．

若，则均符合要求；

若，则仅有符合要求；

若，则均符合要求；

若则没有符合要求的项；

故选：B

2．已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则（????）

A． B．或 C． D．

【答案】A

【分析】依据一元二次方程在复数域内的两个虚根互为共轭复数及韦达定理即可求解.

【详解】因为是关于的方程在复数范围内的一个根，

所以关于的方程的另一个根为，

由韦达定理，得，解得，或（舍），

所以.

故选：A.

3．数学家欧拉发觉了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式，（其中是虚数单位，是自然对数的底数，），这个公式在复变论中有特别重要的地位，被称为“数学中的天桥”，依据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解.

【详解】对于A，，所以，故A不正确；

对于B，，，

所以，故B正确；

对于C，，，

所以，故C不正确；

对于D，

，故D不正确.

故选：B.

4．已知复数，满意，，（其中i是虚数单位），则的最大值为（????）

A．3 B．5 C． D．

【答案】B

【分析】转化椭圆与圆上的动点的距离的最大值即可

【详解】复数在复平面的对应点的轨迹为焦点分别在，的椭圆，方程为；

复数在复平面的对应点的轨迹为圆心在，半径为2的圆，方程为，

即为椭圆上的点与圆上的点的距离.的最大值即为点到圆心的距离的最大值加半径.

设.

所以.

故选：B

5．已知复数满意为负实数，为纯虚数，则（????）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，再依据题意，结合复数相等的条件列式求解即可.

【详解】设，则为负实数，不妨设，则，则，，因为，故.

又为纯虚数，则为纯虚数，设，则，故，解得.

故，结合可得，故，.

故选：C

6．已知是方程的虚数根，则（????）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】由题设有且，将目标式化简为，即可得结果.

【详解】由题设，且，

而，

所以原式等于.

故选：C

7．复数z与点Z对应，为两个给定的复数，，则确定的Z的轨迹是（）

A过的直线

A．线段的中垂线 B．双曲线的一支

C．以为端点的圆

【答案】A

【详解】试题分析：由复数的几何意义可知点Z到点的距离为，点Z到点的距离为，因此点Z到点的距离等于点Z到点的距离，点Z在线段的中垂线上，答案选A.

考点：复数的几何意义

8．关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，探讨根的判别式，依据圆的对称性得到相应推断.

【详解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为，设对应的两点分别为A，B，

得A（2，1），B（2，﹣1），

设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2），

（1）当△＜0，即0＜m＜1时，的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且明显四点共圆；

（2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，

故此圆的圆心为（﹣m，0），

半径，

又圆心O1到A的距离O1A＝，

解得m＝﹣1，

综上：m∈（0，1）∪{﹣1}.

故选：D.

【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.

二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．欧拉公式是由瑞士闻名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有特别重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（????）

A．对应的点位于其次象限 B．为纯虚数

C．的模长等于 D．的共轭复数为

【答案】ABC

【分析】依据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特