2025届新高考数学热点专练11计数原理教师版.docxVIP

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热点11计数原理

从新高考考查状况来看，排列组合与二项式定理是新高考命题的热点，主要考查分类、分步计数原理的应用，排列与组合的综合应用，分组安排问题等，二项绽开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．主要考查学生的转化与化归、分类探讨思想，数学运算和逻辑推理等核心素养．

1、求二项式系数和或各项的系数和的解题技巧：

（1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其绽开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．

（2）对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其绽开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

（3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)绽开式中各项系数之和为f(1)，

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

2、解决排列问题的常见方法：

（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻究竟，不能既考虑元素又考虑位置.

（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要留意捆绑元素的内部排列.

（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.

（4）对于定序问题，可先不考虑依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

（5）若某些问题从正面考虑比较困难，可从其反面入手，即采纳“间接法”.

3、解决组合问题的常见方法：

组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用干脆法，也可用间接法.用干脆法求解时，要留意合理地分类或分步；用间接法求解时，要留意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏。

热点1.以实际情景为背景的排列组合问题

主要以接近生活的实际状况为主，多以选择或填空为主。主要考查分类、分步计数原理的应用，突出分类探讨思想、转化化归思想的应用，问题情景的设置越来越接近生活,能否将实际问题合理、正确地转化成排列组合问题，是解决这类试题的关键。

热点2.二项式定理及相关运用

二项式定理是中学数学的重要组成部分，高考中二项式定理是考点之一，二项式定理的应用在高考中一般以选择题和填空题的形式出现,难度不大。

A卷（建议用时60分钟）

一、单选题

1．（2024·河北衡水中学模拟预料）在2024中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参与演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机．若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，全部的军舰两两不同，全部的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）

A．51种 B．224种 C．240种 D．336种

【答案】C

【分析】按中方选一架飞机或俄方选一架飞机分类探讨，每类再分步选择即可得．

【详解】不同的选法有：（种）．故选：C．

2．（2024·湖北·模拟预料）某校的6名高二学生准备参与学校组织的“篮球队”“微电影社团”“棋艺社”“美术社”“合唱团”5个社团，若每名同学必需参与且只能参与1个社团，每个社团至多2人参与，则这6人中至多有1人参与“微电影社团”的不同参与方法种数为（）

A．1140 B．3600 C．5040 D．6840

【答案】C

【分析】分两类：一类是有1人参与“微电影社团”，则从6人中选1人参与该社团，其余5人参与剩下4个社团，人数支配有和两种状况；一类是无人参与“微电影社团”，则6人参与剩下4个社团，人数支配有和两种状况，进而结合两个计数原理即可求出结果.

【详解】可分两类：第一类，若有1人参与“微电影社团”，则从6人中选1人参与该社团，其余5人参与剩下4个社团，人数支配有和两种状况，所以不同的参与方法种数为；其次类，若无人参与“微电影社团”，则6人参与剩下4个社团，人数支配有和两种状况，所以不同的参与方法种数为．故不同的参与方法种数为，

故选：C．

3．（2024·江苏·南京市中华中学高三期中）已知的二项绽开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则绽开式中含的系数为（）

A． B．31 C． D．220

【答案】D

【分析】依据题意可得，求出绽开式即可得出.

【详解】的绽开式的通项为，

由题可得第3项与第10项的二项式系数相等，则，所以，

则绽开式中含的系数为.故选：D.

4.（2024·江苏常州·高三期中）已知，则（）

A．-2 B．-1 C．0 D．2

【答案】B

【分析】依据题意，分别令和，代入计算即可求解.