专题23 《解三角形》中定值问题培优训练（解析版）-2020-2021学年高一数学专题培优训练（苏教版2019必修第二册，第11章解三角形）.docx

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《解三角形》中定值问题培优训练

（满分100分时间：60分钟）班级姓名得分

一、解答题

某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM、PN，其中M、N分别在边界AB、AC上，小径PM、PN与边界BC的夹角都为60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．

(1)探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；

(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小？

【答案】解：(1)在三角形BPM中由正弦定理可得：PMsin45°=PBsin75°，化简得PM=(3-1)PB，同理可得PN=(3-1)PC，

∴PM+PN=(3-1)(PB+PC)=(3-1)BC=(3-1)×400为定值．

(2)在三角形PMN中，由余弦定理得MN2=PM2+PN2-2PM?PNcos60°=(PM+PN

【解析】(1)分别在三角形BPM和CPN中由正弦定理求得PM，PN，然后相加可得定值；

(2)三条小径(PM、PN、MN)的长度和最小?MN最小，在三角形PMN中由余弦定理可得MN的解析式，然后配方后用基本不等式可得．

本题考查了三角形中的几何计算，

如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45n(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠PAB=θ，tanθ=t．

(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．

(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域阴影部分的面积S最大为多少(平方百米)？

【答案】解：(1)BP=t，0≤t≤1，

∠DAQ=45°-θ，DQ=tan(45°-θ)=1-t1+t，

CQ=1-1-t1+t=2t1+t，

∴PQ=(1-t)2+(2t1+t)2=1+t21+t．

∴l=CP+CQ+PQ

=1-t+2t1+t+1+

【解析】(1)利用已知条件，结合直角三角形，直接用t表示出PQ的长度，然后推出△CPQ的周长l为定值．

(2)利用S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ，推出探照灯照射在正方形ABCD

在Rt△ABC中，两直角边AB、AC的长分别为m、n(其中mn)，以BC的中点O为圆心，作半径为r(r12│BC│)的圆O．

(1)若圆O与△ABC的三边共有4个交点，求r的取值范围；

(2)设圆O与边BC交于P、Q两点；当r变化时，甲乙两位同学均证明出2│AP│2+2│AQ│2-│PQ│2为定值．甲同学的方法为：连接AP、AQ、AO，利用两个小三角形中的余弦定理来推导；乙同学的方法为：以O

【答案】(1)解：因为ABAC，故当圆O与边AB相切时，r=AC2=n2，

此时圆O与△ABC的三边共有3个交点；

当圆O与边AC相切时，r=AB2=m2，

此时圆O与△ABC的三边共有5个交点；

故当n2rm2时，圆O与△ABC的三边共有4个交点；

(2)证：连接AP、AQ、AO；

在△APO中，由余弦定理可得：

│AP│2=│AO│2+│OP│2-2│AO│·│OP│·cos∠AOP；①

【解析】本题考查有关圆的切线问题，考查余弦定理的应用，属于中档题．

(1)由题意知，圆O与边AB相切时，与其三边的三边共有3个交点．圆O与边AC相切时，与其三边的三边共有5个交点．继而可得到结果．

(2)在△APO和在△AQO中，由余弦定理可得到│AP│2+│AQ│

如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P?,?Q分别在边BC?,?CD上)，设∠PAB=θ，tanθ=t

(1)用t表示出PQ的长度，并探求?CPQ的周长l是否为定值；

(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少(平方百米)？

【答案】解：(1)BP=t，0≤t≤1，

∠DAQ=45°-θ，DQ=tan(45°-θ)=1-t1+t，

CQ=1-1-t1+t=2t1+t，

∴PQ=CP2+CQ2=(1-t)2+(2t1+t)2=1+t21+t．

∴l=CP+CQ+PQ

【解析】本题考查三角形的实际应用，函数值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，(1)利用已知条件，结合直角三角形，直接用t表示出PQ的长度，然后推出△CPQ的周长l为定值；

(2)利用S=S正方形ABCD-S△ABP-S△ADQ，推出探照灯照射在正方形

如图，某饭店为了给客人提供一块活动场地，利用两块