同角三角函数的基本关系课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptxVIP

5.2.2同角三角函数的基本关系第五章三角函数人教A版数学必修第一册

基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引学以致用·随堂检测促达标

学习目标1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,=tanα.(数学抽象)2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.(数学运算、逻辑推理)

基础落实·必备知识一遍过

知识点:同角三角函数的基本关系1.平方关系(1)公式:sin2α+cos2α=1;(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2.商数关系(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.

名师点睛1.基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.2.sin2α是(sinα)2的简写,读作“sinα的平方”,不能将sin2α写成sinα2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.

微思考平方关系sin2α+cos2α=1,商数关系上述同角三角函数关系如何证明?

重难探究·能力素养速提升

问题1以单位圆上某一点的坐标意义为基础,可否发现坐标间的几何关系?又可否发现三角函数间的关系?

探究点一利用同角三角函数关系求值问题2同角三角函数间的关系,本质就是量的关系.已知某个角的三角函数值,可否求出该角的其他三角函数值?1.已知某个三角函数值,求其余三角函数值【例1】(1)已知sinα=,求cosα,tanα的值;分析已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的余弦值或正弦值,再利用商数关系求该角的正切值.

(2)已知cosα=-,求sinα,tanα的值.

规律方法已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步:由已知三角函数值的符号,确定其角的终边所在的象限;第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.

问题3虽然已知某个角的三角函数值,可以求出该角的其他三角函数值,但运算较繁杂,容易出错.所以,对于某些运算特征明显的式子,比如齐次式,我们可以通过化简来优化运算.2.已知tanα,求关于sinα和cosα齐次式的值【例2】已知tanα=2,则(3)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=.?分析注意到所求式子都是关于sinα,cosα的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cosα的整数次幂,把所求值的式子用tanα表示,将tanα=2整体代入求其值.-11

规律方法已知tanα,求关于sinα和cosα齐次式的值的基本方法

问题4借助同角三角函数的平方关系,可否发现sinα+cosα,sinα-cosα与sinαcosα之间的关系?3.利用sinα+cosα,sinα-cosα与sinαcosα之间的关系求值【例3】已知sinα+cosα=,α∈(0,π),求tanα的值.分析要求tanα的值,只需求得sinα,cosα的值.而由已知条件sinα+cosα=,α∈(0,π),结合sin2α+cos2α=1,求得2sinαcosα的值,进而求得sinα-cosα的值,从而得到sinα,cosα的值,问题得解.

规律方法1.由(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα,(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα可知如果已知sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.

2.sinθ±cosθ的符号的判定方法(1)sinθ-cosθ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sinθ=cosθ,即sinθ-cosθ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sinθcosθ,即sinθ-cosθ0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sinθcosθ,即sinθ-cosθ0.如图1所示.图1

(2)sinθ+cosθ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=-x上时,sinθ=-cosθ,即sinθ+cosθ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半平面区域内时,sinθ-cosθ,即sinθ+cosθ0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sinθ-cosθ,即sinθ+cosθ0.如图