第三知识块--三角函数、三角恒等变换及解三角形(第5课时-第8课时)-(4).doc

第8课时正弦定理、余弦定理的应用

一、填空题

1．△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，且B＝30°，那么△ABC的面积等于________．

解析：∵AD=ABsin30°=，∴该三角形有两解．

由正弦定理得，∴sinC=，C=60°或C=120°，

∴A=90°或A=30°，当A=90°时，S△ABC=；

当A=30°时，S△ABC=.

答案：

2．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东

20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，那么灯塔A与灯塔B的距离为________．

解析：由可得∠ACB＝120°，又AC＝BC＝a，在△ABC中，由余弦定理得

AB2＝a2＋a2－2a·acos120°＝3a2，∴AB＝eq\r(3)akm.

答案：eq\r(3)akm

3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，

假设(a2＋c2－b2)sinBtanB＝eq\r(3)absinC，那么角B的值为________．

解析：由正、余弦定理知，a2＋c2－b2＝2accosB，eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(b,c).因为(a2＋c2－b2)sinBtanB

＝eq\r(3)absinC，那么2accosB·eq\f(sinB,cosB)·eq\f(b,c)＝eq\r(3)ab，即sinB＝eq\f(\r(3),2).又B为△ABC的内角，所以

B＝eq\f(π,3)或B＝eq\f(2π,3).

答案：eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)

4．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶A的仰角为

30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是________m.

解析：如上图所示，由，四边形CBMD为正方形，而CB=20m，

所以BM=20m．又在Rt△AMD中，DM=20m，∠ADM=30°，

∴AM=DMtan30°=(m)，∴AB=AM+MB=(m)．

答案：

5．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船

的航行速度分别为25nmile/h、15nmile/h，那么下午2时两船之间的距离是______nmile.

解析：如图，两船航行的时间为t，那么有OA=50，OB=30.

而AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos120°=502+302-2×50×30×()

=2500+900+1500=4900，∴AB=70.

答案：70

6．有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把倾斜角改为30°，那么坡底需伸长

______米．

解析：坡的倾斜角即为坡度，依题意知，该坡的高度不变，即仍为50eq\

斜角变为30°时，坡底的长度为50eq\r(3)米，所以坡度改后，坡底伸长了50(eq\r(3)－eq\r(2))米．

答案：50(eq\r(3)－eq\r(2))

7．(江苏省高考名校联考信息优化卷)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

f(A)

＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＋1，且f(A)＝2，b＝1，△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，那么eq\f(b＋c,sinB＋sinC)的值为

________．

解析：因为f(A)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＋1，且f(A)＝2，所以2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＋1＝2，

sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2).在△ABC中，∵0Aπ，∴eq\f(π,6)2A＋eq\f(π,6)eq\f(π,6)＋2π，

∴2A＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，解得A＝eq\f(π,3).又∵S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×1×c×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，∴c＝2.

在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋4－2×1×2×eq\f(1,2)＝3，∴a＝eq\r(3).

由正弦定理，得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，所以eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝2.

答案：2

二、解答题

8．