专题18 《解三角形》中解答题压轴题培优训练（1）（解析版）-2020-2021学年高一数学专题培优训练（苏教版2019必修第二册，第11章解三角形）.docx

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《解三角形》中解答题压轴题培优训练（1）

（满分100分时间：60分钟）班级姓名得分

一、解答题

已知向量a=(cos32x,sin32x),b=(cosx2,-sinx2)

【答案】解：(1)a?b=cos32xcosx2-sin32xsin12x=cos2x，

∵(a+b)2=a2+2a?b+b2

=1+2cos2x+1

=2+2cos2x

=4cos2x，

又x∈[0,π2]

【解析】本题考查了平面向量的坐标运算，考查向量的数量积及向量的模的运算，及利用二次函数性质、余弦函数的性质、分类讨论求最值，属于较难题．

(1)利用向量数量积、模的运算得结论;?

(2)将(1)中a?b及|a+b|的运算式子代入f(x)=

如图，某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形，其中直角边BC=200m，斜边AB

(1)若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E，甲到达D，求此时甲、乙两人之间的距离；

(2)甲、乙、丙所在位置分别记为点D,E,F.设∠CEF=θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2

【答案】?解：(Ⅰ)依题意得BD=300，BE=100，

在△ABC中，cos?B=BCAB

在△BDE中，由余弦定理得由余弦定理可得：

DE=3002+1002

(Ⅱ)由题意得EF=2DE=2y，∠BDE=∠CEF=θ，

在Rt△CEF中，CE=EF·cos

在△BDE中，由正弦定理得，

即200-2ycos

∴y=10033

∴当θ=π6时，y有最小值

∴甲乙之间的最小距离为．

【解析】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查解三角形的实际应用，正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于一般题．

(1)由题意，BD=300，BE=100，△BDE中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离；

(2)△BDE中，由正弦定理可得200-2ycosθsinθ=ysin60°

如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OP=22，点M在线段PQ上．

(1)若OM=5，求PM

(2)若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．

【答案】解：(1)在△OMP中，∠OPM=45°，OM=5，OP=2

由余弦定理得，OM

得MP2-4MP+3=0，解得MP=1

(2)设∠POM=α，0°≤α≤60°，

在△OMP中，由正弦定理，得OMsin

所以OM=OPsin45°sin(45°+α)

故S

=1

=1

=1

=1341-cos90°

因为0°≤α≤60°，得30°≤2α+30°≤150°，

所以当α=30°时，sin(2α+30°)的最大值为1，此时△OMN

即∠POM=30°时，△OMN的面积的最小值为8-43

【解析】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，也考查了三角函数的图象与性质及三角函数公式，是综合题．

(1)由余弦定理得，OM2=O

(2)设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得OM=OPsin45°sin(45°+α)，ON=

如图，某机械厂欲从AB=2米，AD=22米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB=EF，AFBE.设∠BEF=θ，四边形ABEF的面积为f(θ)(单位：平方米)．

(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，求出定义域;

(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值．

【答案】解：(1)如图所示，

过点F作FM⊥BE，垂足为M；

在Rt△FME中，MF=2，∠EMF=π2，∠FEM=θ；

所以EF=2sinθ，ME=2tanθ，

故AF=BM=EF-EM=2sinθ-2tanθ，

所以f(θ)=12(AF+BE)×AB=12×(2sinθ-2tanθ+2sinθ)×2=4sinθ-2tanθ，

据题意，AFBE，所以θπ2；

且当点E重合于点C时，EF=EB=22，FM=2，θ=π4，

所以函数f(θ)=4sinθ-2tanθ的定义域为[π4,π

【解析】本题考查了解三角形以及三角恒等变换的应用问题，是综合题．

(1)过点F作FM⊥BE于M，利用直角三角形的边角关系，求出函数f(θ)的解析式及定义域；

(2)根据f(θ)的解析式，利用三角恒等变换和基本不等式求得f(θ)的最小值，

从而求出BE、AF为何值时裁剪出的四边形ABEF面积最小以及其最小值．

武汉是我国著名的“火炉”城市之一，如图，