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专题38空间直线、平面的平行(新高考专用)
目录
目录
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 14
【考点1】直线与平面平行的判定与性质 14
【考点2】平面与平面平行的判定与性质 24
【考点3】平行关系的综合应用 32
【分层检测】 43
【基础篇】 43
【能力篇】 54
【培优篇】 62
考试要求:
从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,并加以证明.
知识梳理
知识梳理
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
a?α,b?α,a∥b?a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行
a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?α∥β
性质
两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β,a?α?a∥β
性质定理
两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
2.三种平行关系的转化
真题自测
真题自测
一、解答题
1.(2024·全国·高考真题)如图,,,,,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求点到的距离.
2.(2023·全国·高考真题)如图,在三棱锥中,,,,,的中点分别为,点在上,.
(1)求证://平面;
(2)若,求三棱锥的体积.
3.(2023·天津·高考真题)如图,在三棱台中,平面,为中点.,N为AB的中点,
??
(1)求证://平面;
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
4.(2022·全国·高考真题)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面是边长为8(单位:)的正方形,均为正三角形,且它们所在的平面都与平面垂直.
(1)证明:平面;
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
5.(2022·北京·高考真题)如图,在三棱柱中,侧面为正方形,平面平面,,M,N分别为,AC的中点.
(1)求证:平面;
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.
条件①:;
条件②:.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
参考答案:
1.(1)证明见详解;
(2)
【分析】(1)结合已知易证四边形为平行四边形,可证,进而得证;
(2)先证明平面,结合等体积法即可求解.
【详解】(1)由题意得,,且,
所以四边形是平行四边形,所以,
又平面平面,
所以平面;
(2)取的中点,连接,,因为,且,
所以四边形是平行四边形,所以,
又,故是等腰三角形,同理是等腰三角形,
可得,
又,所以,故.
又平面,所以平面,
易知.
在中,,
所以.
设点到平面的距离为,由,
得,得,
故点到平面的距离为.
2.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据给定条件,证明四边形为平行四边形,再利用线面平行的判定推理作答.
(2)作出并证明为棱锥的高,利用三棱锥的体积公式直接可求体积.
【详解】(1)连接,设,则,,,
则,
解得,则为的中点,由分别为的中点,
于是,即,
则四边形为平行四边形,
,又平面平面,
所以平面.
(2)过作垂直的延长线交于点,
因为是中点,所以,
在中,,
所以,
因为,
所以,又,平面,
所以平面,又平面,
所以,又,平面,
所以平面,
即三棱锥的高为,
因为,所以,
所以,
又,
所以.
3.(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】(1)先证明四边形是平行四边形,然后用线面平行的判定解决;
(2)利用二面角的定义,作出二面角的平面角后进行求解;
(3)方法一是利用线面垂直的关系,找到垂线段的长,方法二无需找垂线段长,直接利用等体积法求解
【详解】(1)
??
连接.由分别是的中点,根据中位线性质,//,且,
由棱台性质,//,于是//,由可知,四边形是平行四边形,则//,
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