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广东省茂名市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1.已知集合,,则()
A. B. C. D.且
2.若复数z满足,则()
A.1 B. C.3 D.5
3.设,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知函数,则的大致图象为()
A. B. C. D.
5.已知,则的最小值为()
A.6 B.5 C.4 D.3
6.将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍,得到函数的图象.已知,则()
A. B.
C. D.
7.若是锐角三角形,,,则边c的取值范围是()
A. B. C. D.
8.在四棱中,底面为正方形,底面,,E为线段的中点,F为线段上的动点.若,则()
A.1 B. C. D.3
二、多项选择题
9.已知是边长为1的正三角形,M,N分别为,的中点,则()
A.与不能构成一组基底 B.
C. D.在上的投影向量为
10.某学校开展“国学知识竞赛”,共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛,每组10位选手,若该组每位选手的失分不超过6分,该组获得“优秀”称号,则根据每组选手的失分情况,下列小组一定获得“优秀”称号的是()
A.诗经组中位数为3,众数为2
B.论语组平均数为3,方差为1
C.春秋组平均数为3,众数为2
D.礼记组中位数为2,极差为4
11.已知是定义域为R的偶函数,为奇函数,当时,,则()
A.当时, B.当时,
C.在上单调递增 D.
三、填空题
12.已知棱长为的正方体的所有顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为______.
13.若复数是关于x的方程的一个根,则______.
14.在海面上,乙船以40km/h的速度朝着北偏东的方向航行,甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船,由于乙船有紧急任务不能停止航行,所以甲船准备沿直线方向以的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇,甲船航行速度的最小值为______(km/h).
四、解答题
15.已知的顶点,,.
(1)若单位向量与方向相同,求的坐标;
(2)求向量与的夹角.
16.已知函数.
(1)若,求与交点的横坐标;
(2)若在区间上恰有一个零点,求a的取值范围.
17.如图1,菱形的边长为2,,将沿着翻折到三角形的位置,连接,形成的四面体如图2所示.
(1)证明:;
(2)若四面体的体积为,求二面角的大小.
18.某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况,某校随机抽取了200名学生进行测试,测试成绩的频率分布直方图如下图所示,其中成绩不超过80分的有108人.
(1)求图中a,b的值;
(2)并根据频率分布直方图,估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表);
(3)若抽取的200名学生中,男生120人,女生80人,其中男生分数的平均数为,方差为;女生分数的平均数为,方差为;200名学生分数的平均数为,方差为.
①;
②,
请判断公式①和公式②是否相等,并说明理由.
19.如图所示,在中,,AD平分,且.
(1)若,求BC长度;
(2)求k的取值范围;
(3)若,求k为何值时,BC最短.
参考答案
1.答案:D
解析:由,可得,
,则,
故且.
故选:D.
2.答案:A
解析:解法一:由,得,
所以,
解法二:由,得,
所以.
故选:A
3.答案:B
解析:,则,而推不出,但,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
4.答案:C
解析:因为函数定义域为R,,
所以为奇函数,则其图象关于原点对称,所以排除A,
当时,,所以排除D,
因为由幂函数的性质可知当时,在直线的上方,
所以排除B,
故选:C
5.答案:D
解析:由,则,故,
当且仅当时,等号成立.
故选:D.
6.答案:B
解析:由题意可知将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍,得,
再将的图象向右平移个单位,得的图象,则,
故选:B
7.答案:D
解析:由正弦定理可知,,则,
因为,则,
因为是锐角三角形,所以,
则,,
所以.
故选:D
8.答案:C
解析:由底面,平面,故,,
由底面为正方形,故,
又平面,,故平面,
又平面,则,
由,则,由E为线段的中点,则,
设,则,,
由,则,
则由余弦定理可得,
解得,故.
故选:C.
9.答案:ABD
解析:对A:由M,N分别为,的中点,则,即,
故与不能构成
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