西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分.docx

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第十章 曲线积分与曲面积分

第一节 第一类曲线积分

1.设xOy平面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为 (x,y),用对弧长的曲线积分表示：

这曲线弧L的长度S ;

这曲线弧L的质量M ;

这曲线弧L的重心坐标：x ;y ;

这曲线弧L对x轴,y轴及原点的转动惯量I ;I ;I .

解（1）S

M

L

ds;

L

(x,y)ds;

x y 0

x

(x,y)ds

L , y

(x,y)ds

(x,y)ds

L ,

(x,y)ds

I

L

y2 (x,y)ds,I

L

x2 (x,y)ds,I

(x2 y2)(x,y)ds

x L y L 0 L

x2 y2

2.（1）设L为椭圆

4 3

1,其周长为a,求 (3x2 4y2)ds.

L

（2）设L为圆周x2

y2 64,求

L

x2 y2ds.

解（1）L：

x2 y2

4 3

1,即3x2 4y2 12,

从而 (3x2 4y2)ds= 12ds=12ds=12a.

L

（2）L：x2

L L

y2 64,

从而 x2 y2ds= 8ds=8ds=82π8=128π.

L L L

计算

(x2

L

y2)ds,其中L是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形.

y1L2O

y

1

L

2

O

L:x

3

2

2y

L

1

2

x

L：y 0,x从0 2,

1

L：x 0,y从0 1,

2

L：x 2 2y,y从0 1,

3

图 10.1

ds(1 dx)2dy 5dy.

ds

(

dy

从而

(x2 y2)ds= (x2 y2)ds+ (x2 y2)ds+ (x2 y2)ds

L L

1

= 2x2dx

L

2

1y2dy

L

3

51[(22y2) y2]dy

5

0 0 0

58 1 1 5

5

= (48y 5y2)dy=3 5.

3 3 0 3

计算

L

x2 y2ds,其中L为曲线x2 y2 2x.

x 1 cos,

解1 L的参数方程为L：

y sin,

0 2π.计算出ds d ,于是

x2 y2ds= 2π(1cos)2 sin2 d =22πcos d

L 0 0 2

π

u4πcosudu 8

= 2cosudu=8.

2 0 0

解2 在极坐标系下,L:r 2cos,

π π

.计算出ds r2 r2d =2d ,于

2 2

是 x2

L

y2ds=

22cos2d =8 2cosd =8.

0

2

求空间曲线x e

tcost,y e

tsint,z e

t(0 t )的弧长.

解ds x2(t) y2(t) z2(t)dt

=

=

e2t(cost

sint)2 e2t(costsint)2 e2tdt

= 3etdt,

从而 s

etdt .

330

3

3

有一铁丝成半圆形x acost,y asint,0 t ,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量.

dx dy

ds 2 2

2 2 adt

解 ( ) ( )dt= (asint) (acost)dt= .

dt dt

m ds=

yds=

πasintadt=a2

πsintdt=2a2.

L L 0 0

计算

(x2 y2 z)ds,其中L为球面x2 y2 z a2与平面x y z 0的交线.

L

解 由于x2 y2 z a2与x y z 0对x,y,z都具有轮换对称性,故

x2ds= y2ds= z2ds, xds= yds= zds.

L L L L L L

于是

1

x2ds=

L

( x2ds y2ds z2ds)

3 L L L

a2

a2 2

= (x2 y2 z2)ds=

ds= 2πa= πa3.

3L 3 L 3 3

x2 y2 z2 a2

其中 ds为圆周 的周长,显然平面x y z 0过球面

L x y z 0

x2 y2 z2 a2

的球心O(0,0,0),所以L为该球面上的大圆,即半径为a,故周长为2a.又因为

(y z)ds=

L L

所以

yds zds=0,

L

2

(x2 y2 z)ds= πa3.

L 3

第二节 第二类曲线积分

(x y)dx (x y)dy

计算

L x2 y2