专题20 《解三角形》中解答题压轴题培优训练（3）（解析版）-2020-2021学年高一数学专题培优训练（苏教版2019必修第二册，第11章解三角形）.docx

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《解三角形》中解答题压轴题培优训练（3）

（满分100分时间：60分钟）班级姓名得分

一、解答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，a2sinB-3cosC=3

【答案】解：∵a(2sinB-3cosC)=3ccosA，

∴2sinAsinB-3sinAcosC=3cosAsinC，

即?2sinAsinB=3sinAcosC+3sinCcosA=3sin(A+C)=3sinB，

∵sinB≠0，∴2sinA=3，

sinA=32，即A=π3或

【解析】本题主要考查三角形的面积的计算，两角和与差的三角函数公式，结合正弦定理以及向量数量积的应用是解决本题的关键．

根据正弦定理先求出A的大小，结合向量数量积的公式进行转化求出c的值进行求解即可．

已知ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a,?b,?c，向量m=(a,c-2b),n=(2

(Ⅰ)求A的大小；

(Ⅱ)若a=3,求

【答案】解(Ⅰ)由|m+n|=|m-n|，得m?n=0，

从而2acosC+c-2b=0

法1：由余弦定理得，2a·a2+b2-c22ab+c-2b=0得b2+c2-a2=bc，

【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示和性质，两角和差的三角函数公式

(Ⅰ)运用向量的平方即为模的平方可得?m????n?=0，再由向量的数量积的坐标表示、余弦定理，即可得到角A；

如图：在ΔABC中，b2=a2+c2-23

(1)若AB=2，BD=433

(2)若AC=2，求△BDC的面积最大值．

【答案】解:(1)∵b2=a2+c2-23ac?cosB=a2+c2-b22ac=13，

在ΔABC中，设BC=a，AC=3m，

由余弦定理可得：9m2=a2+4-43a①，

在ΔABD和ΔDBC中，由余弦定理可得：

【解析】本题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，同角三角函数平方关系，基本不等式求最值，三角形面积公式，诱导公式等，正确使用公式是解题的关键．

(1)根据题中的条件，结合余弦定理，可求得cosB=13，设BC=a，AC=3m由余弦定理可得：9m2=a2+4-43a，应用余弦定理，写出cos∠ADB,

已知△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，且b2-233bcsin?A+c2=a2．

(1)求角A；

【答案】解：(1)∵b2-233bcsin?A+c2=a2，

∴b2+c2-a2=233bcsinA，

∴2bccosA=233bcsinA，

∴tanA=3，

，

；

(2)∵H是△ABC的垂心，

∴AH·BC

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、向量垂直的应用、向量的数量积，

(1)把已知式子化简为b2+c2-a2=233

如图，某生态农庄内有一块半径为150米，圆心角为π3的扇形空地，现准备对该空地进行开发，规划如下：在弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ．

(1)试将PN，MN分别用θ表示；

(2)现计划将△PMN开发为草莓种植基地，进行亲子采摘活动，预计每平方米获利7元，将△PMQ开发为垂钓中心，预计每平方米获利5元，试问：当角θ为何值时，这两项的收益之和最大？并求出最大值．

【答案】解：(1)在Rt△PON中，，

所以PN=150sinθ，

同理可得ON=150cosθ．

因为四边形PNMQ为矩形，

所以MQ=PN=150sinθ，

因为∠AOB=π3，

所以在Rt△QOM中，，

所以．

综上：PN=150sinθ，．

(2)设草莓种植基地和垂钓中心的收益之和为y元，

则有y=7S△PMN+5S△PQM，

S△PMN=S△PQM=12PN×MN

，

化简得：，

又因为θ∈(0,π3)，

【解析】本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，三角函数降幂公式及三角函数的最值，考查了转化思想，

(1)由已知可求PN=150sinθ，ON=150cosθ.MQ=PN=150sinθ，可求，可得MN=ON-OM，从而求得PN，MN．

(2)设草莓种植基地和垂钓中心的收益之和为y元，则有y=7S△PMN+5S

π

6

)-225003，利用正弦函数的性质即可得解．

如图所示，四边形OAPB中，OA⊥OB，PA+PB=10，∠PAO=∠PBO，∠APB=150°．设∠POA=?α，△AOB的面积为S．

(1)用α表示OA和OB；

(2)求△AOB面积S的最大值．

【答案】解：(1)在中，由正弦定理得，

在中，由正弦定理得，

因为∠PAO