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【初中竞赛资料】初中数学同余式
同余式
数论有它自己的代数,称为同余理论.最先引进同余的概念与记号的
是数学王子高斯.
先看一个游戏:有n+1个空格排成一行,第一格中放入一枚棋子,甲乙两
人交替移动棋子,每步可前移1,2或3格,以先到最后一格者为胜.问是
先走者胜还是后走者胜?应该怎样走才能取胜?
取胜之道是:你只要设法使余下的空格数是4的倍数,以后你的对手若走
i格(i=1,2,3),你走4-i格,即每一次交替,共走了4格.最后只剩4个
空格时,你的对手就必输无疑了.因此,若n除以4的余数是1,2或3时,
那么先走者甲胜;若n除以4的余数是0的话,那么后走者乙胜.
在这个游戏里,我们可以看出,有时我们不必去关心一个数是多少,而要关
心这个数用m除后的余数是什么.又例如,1999年元旦是星期五,1999年
有365天,365=7×52+1,所以2000年的元旦是星期六.这里我们关心的
也是余数.这一讲中,我们将介绍同余的概念、性质及一些简单的应用.
同余,顾名思义,就是余数相同.
定义1给定一个正整数m,如果用m去除a,b所得的余数相同,则称a与
b对模m同余,记作
a≡b(modm),
并读作a同余b,模m.
若a与b对模m同余,由定义1,有
a=mq+r,b=mq+r.
12
所以a-b=m(q-q),
12
即m|a-b.
反之,若m|a-b,设
a=mq+r,b=mq+r,0≤r,r≤m-1,
112212
则有m|r-r.因|r-r|≤m-1,故r-r=0,即r=r.
12121212
于是,我们得到同余的另一个等价定义:
定义2若a与b是两个整数,并且它们的差a-b能被一正整数m整除,那
么,就称a与b对模m同余.
同余式的写法,使我们联想起等式.其实同余式和代数等式有一些相同的
性质,最简单的就是下面的定理1.
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【初中竞赛资料】初中数学同余式
定理1(1)a≡a(modm).
(2)若a≡b(modm),则b≡a(modm).
(3)若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm).
在代数中,等式可以相加、相减和相乘,同样的规则对同余式也成
立.
定理2若a≡b(modm),c≡d(modm),则
a±c≡b±d(modm),ac≡bd(modm).
证由假设得m|a-b,m|c-d,所以
m|(a±c)-(b±d),m|c(a-b)+b(c-d),
即
a±c≡b±d(modm),ac≡bd(modm).
由此我们还可以得到:若a≡b(modm),k是整数,n是自然数,则
a±k≡b±k(modm),
nn
ak≡bk(modm),a≡b(modm).
对于同余式ac≡bc(modm),我们是否能约去公约数c,得到一个正确的同
余式a≡b(modm)?
在这个问题上,同余式与等式是不同的.例如
25≡5(mod10),
约去5得
5≡1(mod10).
这显然是不正确的.但下面这种情形,相约是可以的.
定
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