函数的应用(二)（第1课时不同函数增长的差异）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptxVIP

4.5函数的应用（二）

第1课时不同函数增长的差异;基础落实·必备知识一遍过;学习单元3函数的应用(二);本单元一是采用从特殊到一般的方式,让我们从函数的角度认识方程,了解用二分法求方程近似解的思路、步骤和算法,体会函数与方程的思想,培养直观想象、逻辑推理、数学运算素养;二是初步掌握函数模型的应用,认识数学的价值,培养数学建模素养.;学习目标;;知识点:三种常见函数模型的增长速度比较;名师点睛

1.对数函数y=logbx(b1)在区间(0,+∞)上,随着x的增长,增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样,尽管在一定范围内,logbx可能会大于xc,但是由于logbx的增长慢于xc的增长,因此总存在一个x0,当xx0时就会有logbxxc.

2.对于指数函数y=ax(a1)和幂函数y=xc(x0,c0),在区间(0,+∞)上,无论c比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xc,但由于ax的增长快于xc的增长,因此总存在一个x0,当xx0时,就会有axxc.

3.当底数a1时,指数函数y=ax的值增长非常快,这种现象称之为“指数爆炸”.;微思考

为什么存在一个x0,当xx0时,axxnlogax(a1,n0)一定成立?;;问题1在同一个坐标轴画出幂函数、对数函数、指数函数的图象,对比图象,思考三类函数的增长速度快慢问题.遇到实际问题,如何选用适合的函数来拟合,以减少误差?;探究点一几种函数模型增长的差异;(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:;规律方法常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.

(2)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.

(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,x0,a1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.

(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定.;探究点二指数函数、对数函数与幂函数模型比较;解(1)???据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)=x3,C2对应函数f(x)=2x.

(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.

当xx1时,2xx3,即f(x)g(x);

当x1xx2时,f(x)g(x);

当xx2时,f(x)g(x).

因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,所以x1∈[1,2],即a=1.

又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,f(8)g(8),f(9)=29=512,

g(9)=93=729,f(9)g(9),

f(10)=210=1024,g(10)=103=1000,f(10)g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.

综上可知,a=1,b=9.;规律方法比较函数增长快慢的方法:(1)利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;(2)借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.;探究点三不同函数模型的实际应用;解析本题考查指对幂增长差异的实际应用.当h=H时,体积是V0,故排除A,C项.h由0到H变化的过程中,V的变化刚开始时增长速度越来越快,类似于指数型函数的图象,后来增长速度越来越慢,类似于对数型函数的图象,综合分析可知选B项.;规律方法函数增长快慢对函数曲线的影响

随着自变量的增大,如果函数值增长得越来越快,则函数的图象越“陡”,类似于指数函数的图象;如果函数值增长得越来越慢,则函数的图象越“缓”,类似于对数函数的图象.;2.函数模型的选择与应用

【例4】某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或指数型函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好?;解根据题意可列方程组

所以y=f(x)=-5x2+35x+70.①

同理y=g(x)=