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一次方程组的古今表示及解法教学设计

教学目标

知识技能：阅读教材及课外搜集的材料了解什么是算筹，算筹如何记数，并体会如何利用算筹表示一次方程组，求

一次方程组的解，了解利用矩阵、行列式解一次方程组

数学思考：通过学习用算筹表示数，解方程组，建立符号意识，进一步体会方程的思想和类比思想。

问题解决：在具体情境中发现问题，独立思考，合作交流，获得解一次方程组的基本方法，体验解决问题方法的多

样性，针对他人的回答进行反思，形成评价反思意识。

情感态度:养成独立思考，合作交流，反思质疑的学习习惯，学习数学史，感受古人的智慧，并体会数学是一门不断

建立、不断发展的学科。

教学重点：能用算筹表示一次方程组并求出一次方程组的解

教学难点：理解算筹表示的实际数字，用算筹计算二元一次方程组

课前训练（3分钟）

用加减法解方程组：

师生活动：出示问题，学生板演，教师引导完善，引出课题

设计意图：结合学情，做课前常规训练，让学生熟悉加减法解方程组的方法，为本节课算筹解方程组奠定基础。

一．阅读材料，解决问题（共28分钟）

1.什么是算筹？

算筹，指一把刻得很整齐的竹棍，直径约两三个毫米，长度十来个厘米。

2.算筹怎样表示数？规则是什么？

用算筹表示数：有纵式和横式两种方式。在纵式中，纵摆的每根算筹都代表1，表示6~9时，则上面摆一根横的代

表5。横式中则是横摆的每一根都代表1，其上面纵摆的一根代表5。

规则：个位和百位必须用纵式，十位和千位必须用横式，纵横相间，使各位界限分明，以免发生混乱。算盘中上面

的一个子代表5，下面的一个子代表1，是从算筹延续下来的。

检测：请用算筹形式表示以下四个数

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师生活动：学生独立阅读材料，解决问题，教师明确答案，学生互批，错误剖析

设计意图：把时间交给学生，让他们带着问题去阅读材料，捕捉有效信息，积极解决问题。先练习后讲解，可以提

高效率，达到让学生主动学习的目的。

3.如何根据算筹写出一次方程组？

师生活动：类比第一列，学生独立完成第二列。

设计意图：根据图②，结合已知的方程组理解算筹表示的实际数字，发现：前两项是x、y的系数，后一项是方程

右边的常数项，十位数用横线表示，个位数用竖线表示，满五用横线表示。按此规律，即可看出第二个方程组。算

筹表示数的规则得到进一步强化。

追问：反过来，如何根据二元一次方程组绘出算筹？

师生活动：教师出示问题，学生独立完成，代表板演。

设计意图：增加强化次数，提高学生用算筹表示数的能力，进一步体会类比思想。

4.如何利用算筹表示三元一次方程组？来看看《九章算术》中典型的方程类问题：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，

中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下实一秉各几何？

你能翻译一下这段话吗？

答：“禾”指谷物，“秉”指束数，“实”指打出来的粮食。所以题目就是问每束上等谷、中等谷、下等谷各能打出多

少粮食。

设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食x斗，y斗，Z斗。根据题意，得三元一次方程组：

用算筹表示方程组，并引出算筹发展的形态变迁，与矩阵类似

师生活动：学生独立思考，四人组交互意见，回答问题，纠错，补充

设计意图：

（1）让学生学会分析问题，感受数学来源于生活的特点，同时，引导学生认真阅读，审清题意，设未知量时用词

准确，大胆质疑。

（2）让学生了解算筹的演变历史。

5.阅读材料，研究算筹如何解二元一次方程组

类比材料中算筹解二元一次方程组的解法，学生小组合作用算筹解二元一次方程组

师生活动：独立思考，8人组合作交流，大卡展示，教师点评

设计意图：（1）让学生体验古人算筹解方程组的过程，不仅了解数学的发展历程，还能在对比中意识到现在学习的

解方程组的表示、解法都具有简便性。

（2）直除法的介绍在材料中有所体现，本质上就是消元解方程组，与加减法极其类似，学生通过解方程组能更深

刻理解直除的含义。

（3）教师把介绍直除法的时间交给学生，让他们自行学习，集中注意力寻找答案，提出问题，小组合作找出解决

问题的途径，不仅增加学生学习主动性，问题解决时会有更强的成就感。

（4）学生容易在计算过程中逐步意识到，发展到今天，加减消元法解方程组与算筹比起来，书写和计算两方面都

更加简便。但本质上方法的相同性也让学生进一步体会《九章算术》中提出的问题和解决方法是多么伟大。

二．矩阵求解一次方程组（备选学习）

三．行列式求解一次方程