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线性规划
问题:设z=2x+y,式中变量满足下列条件:
求z的最大值与最小值。
探索结论
线性规划
问题:
设z=2x+y,式中变量满足
下列条件:
求z的最大值与最小值。
目标函数
(线性目标函数)
线性约
束条件
线性规划
线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.
可行解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解;
可行域:由所有可行解组成的集合叫做可行域;
最优解:使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
可行域
2x+y=3
2x+y=12
(1,1)
(5,2)
线性规划
例1解下列线性规划问题:
求z=2x+y的最大值和最小值,使式中x、y满足下
列条件:
解线性规划问题的一般步骤:
第一步:在平面直角坐标系中作出可行域;
第二步:在可行域内找到最优解所对应的点;
第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。
探索结论
2x+y=0
2x+y=-3
2x+y=3
答案:当x=-1,y=-1时,z=2x+y有最小值-3.
当x=2,y=-1时,z=2x+y有最大值3.
线性规划
例2解下列线性规划问题:
求z=300x+900y的最大值和最小值,使式中x、y满足下列条件:
探索结论
x+3y=0
300x+900y=0
300x+900y=112500
答案:当x=0,y=0时,z=300x+900y有最小值0.
当x=0,y=125时,z=300x+900y有最大值112500.
线性规划
练习1(高考真题)
解下列线性规划问题:求z=2x+y的最大值,使式中x、y满足下列条件:
探索结论
答案:当x=1,y=0时,z=2x+y有最大值2。
线性规划
练习2解下列线性规划问题:求z=3x+y的最大值,使式中x、y满足下列条件:
探索结论
3x+y=0
3x+y=29
答案:当x=9,y=2时,z=3x+y有最大值29.
线性规划的实际应用
产品
资源
甲种棉纱(吨)x
乙种棉纱(吨)y
资源限额(吨)
一级子棉(吨)
2
1
300
二级子棉(吨)
1
2
250
利润(元)
600
900
例1某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨,每1吨甲种棉纱的利润是600元,每1吨乙种棉纱的利润是900元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能使利润总额最大?
线性规划的实际应用
解:设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨,利润总额为z元,则
Z=600x+900y
作出可行域,可知直线Z=600x+900y通过点M时利润最大。
解方程组
得点M的坐标
x=350/3≈117
y=200/3≈67
答:应生产甲、乙两种棉纱分别为117吨、67吨,能使利润总额达到最大。
线性规划的应用
已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值范围。
解法1:由待定系数法:设 a+3b=m(a+b)+n(a-2b)
=(m+n)a+(m-2n)b
∴m+n=1,m-2n=3
m=5/3,n=-2/3
∴a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2b)
∵-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3
∴-11/3≤a+3b≤1
线性规划的应用
已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值范围。
解法2约束条件为:
目标函数为:z=a+3b
由图形知:-11/3≤z≤1
即-11/3≤a+3b≤1
线性规划小结
解线性规划问题的一般步骤:
第一步:在平面直角坐标系中作出可行域;
第二步:在可行域内找到最优解所对应的点;
第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。
探索结论
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