第46讲 直线与抛物线（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docx

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第46讲直线与抛物线（精讲）

题型目录一览

①直线与抛物线的位置关系

②抛物线中的弦长问题

③抛物线中的中点弦问题

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.直线与抛物线的位置关系

设直线，抛物线:，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程

①若k≠0，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当0时，直线与抛物线相离，无交点.

②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.

2.抛物线的弦长

当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与抛物线C相交于

两个不同的点，则弦长.

.

3.抛物线的中点弦

设交点坐标为，，代入抛物线两式相减，可得，.设线段的中点为，即，

同理，对于抛物线，则有

4.抛物线的切线

过抛物线上的点的切线方程是.

过抛物线上的点的切线方程是.

【常用结论】

直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角

y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)

（2）弦长AB＝eq\f(2p,sin2α)

（3）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.

（4），，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).

（5）以AB为直径的圆与准线相切．

（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一直线与抛物线的位置关系

策略方法

研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．

【典例1】（单选题）在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（????）

A． B． C． D．

【题型训练】

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与QF的长分别是p、q，则为定值（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（????）

A． B． C． D．

3．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）抛物线的焦点，点在抛物线上，且，的延长线交轴于点，若为线段FN的中点，则（????）

A．2 B． C．4 D．6

4．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知抛物线（）的焦点为F，点P是抛物线准线上一动点，作线段的垂直平分线，则直线与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（）

A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{1,2}

5．（2023秋·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）已知抛物线的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为，则（????）

A． B． C．1 D．2

6．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为（????）

A． B．

C．或 D．或

7．（2023秋·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与交于点（在轴上方），则（????）

A． B．2 C．3 D．

8．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）已知直线交抛物线于轴异侧两点，过向作垂线，垂足为，若点在以为圆心，半径为3的圆上，则（????）

A．48 B．24 C．12 D．36

9．（2023·河北唐山·模拟预测）已知O为坐标原点，点是抛物的准线上一点，过点E的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则的面积为（????）

A． B． C． D．

10．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知抛物线：的准线为直线，直线与交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则（????）

A． B． C． D．

11．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为F，，M为抛物线C上位于第一象限的一点，且点M的横坐标小于2，则的面积（????）

A．有最大值 B．有最小值

C．有最大值1 D．有最小值1

12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线