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第32讲空间点、直线、平面间的位置关系(精讲)
题型目录一览
①共面、共线、共点问题的证明
②异面直线
③平面的基本性质
④等角定理
一、知识点梳理
一、知识点梳理
一、四个公理
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
注意:(1)此公理是判定直线在平面内的依据;(2)此公理是判定点在面内的方法
公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
注意:(1)此公理是确定一个平面的依据;(2)此公理是判定若干点共面的依据
推论①:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面;
注意:(1)此推论是判定若干条直线共面的依据
(2)此推论是判定若干平面重合的依据
(3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论③:经过两条平行直线,有且只有一个平面;
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
注意:(1)此公理是判定两个平面相交的依据
(2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据(比如证明三点共线、三线共点)
(3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
二、直线与直线的位置关系
位置关系
相交(共面)
平行(共面)
异面
图形
符号
a∥b
公共点个数
1
0
0
特征
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平面
两条异面直线不同在如何一个平面内
三、直线与平面的位置关系
位置关系
包含(面内线)
相交(面外线)
平行(面外线)
图形
符号
∥
公共点个数
无数个
1
0
四、平面与平面的位置关系
位置关系
平行
相交(但不垂直)
垂直
图形
符号
∥
,
公共点个数
0
无数个公共点且都在唯一的一条直线上
无数个公共点且都在唯一的一条直线上
【常用结论】
等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
二、题型分类精讲
二、题型分类精讲
题型一共面、共线、共点问题的证明
策略方法共面、共线、共点问题的证明
【典例1】(解答题)如图,在长方体中,、分别是和的中点.
(1)证明:、、、四点共面;
(2)对角线与平面交于点,交于点,求证:点共线;
(3)证明:、、三线共点.
【题型训练】
一、单选题
1.(2023·全国·高三专题练习)已知空间四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2023·全国·高三专题练习)正方体ABCD--A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是(????)
A.相交 B.异面
C.平行 D.垂直
3.(2023·高三课时练习)在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,若EF∩GH=P,则点P(????)
A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上
C.既在直线AC上也在直线BD上 D.既不在直线AC上也不在直线BD上
4.(2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)在长方体中,直线与平面的交点为为线段的中点,则下列结论错误的是(????)
A.三点共线 B.四点异不共面
C.四点共面 D.四点共面
5.(2023·全国·高三专题练习)下面几个命题:①两两相交的三条直线共面;②如果两个平面有公共点,则公共点有无数个;③一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线共面;④顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是(????)
A.2个 B.3个 C.4个 D.1个
6.(2023·全国·高三专题练习)在正方体中,、、、分别是该点所在棱的中点,则下列图形中、、、四点共面的是(???)
A.B.C.D.
7.(2023·全国·高三专题练习)如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且,则下列说法正确的是()
①E,F,G,H四点共面;②EF与GH异面;
③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上;
④EF与GH的交点M一定在直线AC上.
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
8.(2023·全国·高三专题练习)如图,已知分别是正方体所在棱的中点,则下列直线中与直线相交的是(????).
A.直线 B.直线
C.直线 D.直线.
二、多选题
9.(2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习)如图所示,在正方体中,为的中点,直线交平面于点,则下列结论正确的是(????)
A.,,三
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