第13讲 函数的应用和函数模型（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docx

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第13讲函数的应用和函数模型（精讲）

题型目录一览

①求函数的零点和判断零点所在区间

②与零点有关的参数问题

③二分法的应用

④常见函数模型Ⅰ-二次和分段函数

⑤常见函数模型Ⅱ-指对幂函数

【★文末附录-函数的应用思维导图】

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

2.方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

3.零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

4.二分法

对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

5.用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）~（4）步.（用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.）

6.几种常见的函数模型：

函数模型

函数解析式

一次函数模型

，为常数且

反比例函数模型

，为常数且

二次函数模型

，，为常数且

指数函数模型

，，为常数，，，

对数函数模型

，，为常数，，，

幂函数模型

，为常数，

7.解函数应用问题的步骤：

(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;

(3)解模：求解数学模型，得出结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

【常用结论】

函数的零点相关技巧:

①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

刷真题

刷真题明导向

一、单选题

1．（2020·全国·统考高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（????）

A．10名 B．18名 C．24名 D．32名

2．（2020·海南·统考高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（????）

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

3．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

4．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

二、填空题

5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：

①若，恰有2个零点；

②存在负数，使得恰有1个零点；

③存在负数，使得恰有3个零点；

④存在正数，使得恰有3个零点．

其中所有正确结论的序号是_______．

6．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.

题型一求函数的零点和判断零点所在区间

策略方法1.确定函数零点个数的方法

2.判断函数零点所在区间的方法

【典例1】已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（????）

A． B．0 C．2 D．4

【典例2】设方程，，的实数根分别为，，则（????）

A． B．

C． D．

【题型训练】

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的解在内，则（?????）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点