广东省广州市清华附中湾区学校2023~2024学年高一下学期期中考试数学试卷.docxVIP

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广东省广州市清华附中湾区学校2023~2024学年高一下学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量满足，则（????）

A． B．0 C．5 D．7

2．已知底面半径为的圆锥的体积为，则圆锥的高为（???）

A． B． C． D．

3．△ABC中，，则△ABC一定是

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

4．下列说法正确的是（????）

A．经过三点确定一个平面 B．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥

C．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形

5．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（）

A． B． C． D．

6．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（????）

A． B． C．9 D．18

7．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（????）

??

A．3 B．4 C．5 D．6

8．长方体中，，分别为，的中点，为与的交点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（????）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，则

D．若，，则

10．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列选项正确的是（????）

A．若，，则有两解

B．若，，则无解

C．若为锐角三角形，且，则

D．若，则的最大值为

11．如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（????）

A．圆锥的侧面积为

B．三棱锥体积的最大值为

C．的取值范围是

D．三棱锥体积最大时，其内切球半径为

三、填空题

12．已知为一个单位向量，，若在上的投影为，则.

13．如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图是边长为2的正方形，则该平面图形的周长为.

??

14．如图在棱长为6的正方体中，分别是中点，在侧面上（包括边界），且满足三棱锥的体积等于9，则的长度的取值范围.

??

四、解答题

15．已知平面向量，，，其中.

(1)若为单位向量，且，求的坐标；

(2)若且与垂直，求向量，夹角的余弦值.

16．在中，角的对边分别是，且．

(1)求；

(2)若面积为，求边上中线的长．

17．如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点.

(1)求证：直线平面；

(2)求点到平面的距离；

(3)求直线与平面所成角的正弦值.

18．如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：

??

(1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；

(2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？

(3)若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？

19．如图，已知四边形是矩形，平面，且，M?N是线段?上的点，满足.

(1)若，求证：直线平面；

(2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由；

(3)若，求直线与直线所成最大角的余弦值.

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参考答案：

1．C

【分析】先求出，进而利用向量数量积公式求出答案.

【详解】因为，所以，

故.

故选：C

2．C

【分析】根据圆锥的体积公式列方程即可求解.

【详解】设圆锥的高为，

由圆锥的体积公式可得：，解得.

故选:C.

3．A

【详解】根据正弦定理得即

因为即，所以是等腰三角形

故选A

4．D

【分析】根据平面的性质，以及多面体的特征和性质，判断选项.

【详解】A.错误，经过不共线的三点确定一个平面；

B.错误，正八面体的八个面也都是正三角形；

C.错误，侧面都是正方形，但底面如果不是正多边形，也不是正棱柱，比如侧面是正方形，但底面是菱形的柱体不是正四棱柱