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广东省佛山市顺德区元培实验中学2023-2024学年高一下学期第二阶段考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．化简：（????）

A． B． C． D．

2．已知向量满足，则（????）

A． B． C．0 D．1

3．若复数为纯虚数，则实数的值为（????）

A．2 B．2或 C． D．

4．以下说法正确的是（????）

①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．

A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥

5．已知平面向量，，则在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

6．在中，角所对的边分别为.若，则（????）

A． B． C． D．

7．设复数满足，则（????）

A．2 B． C．3 D．

8．已知向量，，那么等于（????）

A． B． C．1 D．0

二、多选题

9．已知，为复数，则下列说法正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则或

10．已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（????）

A．的虚部为 B．

C．为纯虚数 D．在复平面上对应的点在第四象限．

11．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（????）

A．圆柱的侧面积为

B．圆锥的侧面积为

C．圆柱的侧面积与球的表面积相等

D．圆柱、圆锥、球的体积之比为

三、填空题

12．已知向量满足，则.

13．若复数，则

14．已知钝角的面积是，且，，则．

四、解答题

15．计算：

(1)

(2)

(3)

16．利用和（差）角公式计算下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)

17．（1）已知，求实数、的值.

（2）设，，若为实数，求的值.

18．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求.

19．设的内角的对边分别为，且．

(1)求的大小

(2)若，求周长的范围

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参考答案：

1．B

【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.

【详解】由向量的运算法则，可得：

．

故选：B.

2．B

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量满足，

所以.

故选：B

3．C

【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.

【详解】因为复数为纯虚数，则有，解得，

所以实数的值为.

故选：C

4．C

【分析】根据棱柱（直棱柱、平行六面体、多面体）、棱锥（正棱锥）的结构特征判断各项的正误.

【详解】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确；

②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；

③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确；

④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；

⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误；

⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确.

故选：C

5．D

【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.

【详解】在上的投影向量的数量为，

所以在上的投影向量为，

故选：D

6．A

【分析】根据正弦定理，即可求解.

【详解】根据正弦定理可知，，，

则，得.

故选：A

7．B

【分析】令，由解出，利用复数模的公式计算.

【详解】依题意，令，则，

所以，所以，即，

所以.

故选：B．

8．A

【分析】利用向量数量积的坐标运算和两角和的正弦公式可得答案.

【详解】，，

.

故选：A.

9．AC

【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可.

【详解】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；

B：取，，满足，但，故本选项错误；

C：设，，，由，得，即，，所以，即，故本选项正确；

D：取，，则，，此时且，故D不正确．

故选：AC

10．BD

【分析】先利用复数的除法得到，再利用复数的虚部概念判定选项A错误，利用模长公式判定选项B正确，利用复数的乘方运算得到，再利用复数的分类判定选项C错误，利用共轭复数的概念、复数的几何意义判定选项D正确.

【详解】因为，

则的虚部为，即选项A错误；

，即