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高等数学――《第二章》极限与连续
极限与连续§1.数列的极限
1.数列
数列常表示为xn:x1,x2,,xn,其中xn称为数列的通项。
单调数列：n,xnxn1则称xn为单调增数列，若
若n,xnxn1则称xn为单调减数列，
有界数列：若M0,使得n,有xnM
2.数列的极限如果当n无限增大时，xn无限地接近于常数a,那么
称a为数列xn的极限。记作：xna。limn
定义：设一数列xn和一个常数a,如果对于任意给定的正数(不任
多么小),总存在正整数N,使得对于满足nN的一切xn都有xna成
立，那么称数a为数列当n时的极限。
记作：xna或xna(n)limn
这即为数列极限的“CN”定义，可简写为
0,N0,n:nNxna
例1.用极限“CN”定义验证
2(1)lim0nn22解：从不等式0中解出nn取N[]所以2
20,取N[]当nN时，有0n证毕。
2
n!(2)limn0nnn!怎么办呢？解：从不等式n0中无法解出nnn!
2?放大不等式n0nn222从不等式中解出n取N[]所以n2n!0,
取N[]当nN时，有n0n证毕。
n22n31(3)lim2n2nn42n22n31解：解不等式2吗？2nn
42没有必要！
增加限制条件n4
n22n315n105n2222nn422(2nn4)4n50,取Nmax4,[],
当nN时，有4n2n31,证毕。22nn422
例2.用“CN”语言验证n
limna1a1n
证法1:解不等式n
a1
1a1,nloga(1)
1n0,取N[],当nN时，a1loga(1)
证法2:设rna1,a(1r)n1nra1a1n则r,放大不等式a1nna
1n0,取N[],当nN时，a1
考虑怎样证明：limnn1?n
例3.设limxna,证明：xna,limnn
举例说明反之不成立。证：分别讨论xn0,xn0,xn0可以吗？
证：limxna,0,N,当nN时,n
有xna
0,取上述N,当nN时,有xnaxna反例：xn(1)n
证毕。
例4.设数列xn有界,且limyn0.证明：xnyn0limnn
证：设M0,xnM。limyn0
n
0,对于1
M
,N,当nN时,yn1
M
0,取上述N,当nN时,xnynM证毕。
M
数列极限的几何解释
limxnan
0,N0,n:nNxnanN(a-a
)a+
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