素养拓展15 平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docx

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素养拓展15平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练）

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、平面向量中的最值（范围）问题

平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种：

一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；

二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．

二、极化恒等式

设a，b是平面内的两个向量，则有

证明：，①，②

将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．

①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．

即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．

②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，

该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．

注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．

二、题型精讲精练

二、题型精讲精练

【典例1】（极化恒等式的应用）已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值．

解：令（其中），则三点共线（如图），从而的几何意义表示点到直线的距离为，这说明是等边三角形，为边上的高，故．

取的中点，则由向量极化恒等式可得，

其中为点到边的距离．

即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值．

【典例2】（数量积的最值（范围））已知，若点M是所在平面内的一点，且，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，

依题意，所以，

，所以，

所以.故选：C.

【典例3】（模的最值（范围））已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（????）

A． B．2 C． D．1

【答案】A【解析】在中，设，则，

因为，即，所以为等边三角形，

以为邻边作平行四边形，设交于点，

可得，则，

因为，取的起点为，

可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，

如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为；

当点为线段与圆的交点时，的最小值为；

所以.故选：A.

【典例4】（夹角的最值（范围））平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（????）

A． B． C． D．

【答案】A【解析】由两边平方得，又，则.

，当时取等号.则与夹角的余弦值的最大值.故选：A.

【题型训练-刷模拟】

1.极化恒等式的应用

1．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，，则

A． B． C． D．

2．如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心?半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．如图，在中，是的中点，在边上，且，与交于点，若，则的值是

A． B． C． D．3

4．已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（）．

A．B．C．D．

5．已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

7．在中，，为钝角，是边上的两个动点，且，若的最小值为，则__________．

8．如图，圆为的内切圆，已知，过圆心的直线交圆于两点，则的取值范围是_________．

2.数量积的最值（范围）问题

一、单选题

1．（2023·河南安阳·统考三模）已知菱形的边长为，，为菱形的中心，是线段上的动点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

2．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（????）

??

A． B． C． D．

3．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在中，，，则的取值范围为