第10讲 指数与指数函数（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）原卷版.docx

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第10讲指数与指数函数（精讲）

题型目录一览

①指数幂的化简与求值

②指数函数的图像与性质

③解指数方程与不等式

④指数函数的综合应用

★【文末附录-指数运算和指数函数思维导图】

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．

(2)根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幂的分类

①正整数指数幂；②零指数幂；

③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．

(5)有理数指数幂的性质

①，，；②，，；

③，，；④，，．

2.指数函数

图象

性质

①定义域，值域

②，即时，，图象都经过点

③，即时，等于底数

④在定义域上是单调减函数

在定义域上是单调增函数

⑤时，；时，

时，；时，

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

【常用结论】

1.指数函数常用技巧

(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．

(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．

当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．

二、题型分类精讲(3)指数函数与的图象关于轴对称．

二、题型分类精讲

刷真题

刷真题明导向

一、单选题

1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（????）

A． B．

C． D．

2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

3．（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（????）

A．B．C．D．

4．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（????）

A． B．

C． D．

5．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（????）

A．25 B．5 C． D．

6．（2020·全国·统考高考真题）若，则（????）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·统考高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

题型一指数幂的化简与求值

策略方法指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

【典例1】计算：(1)；

(2)已知：，求的值.

【题型训练】

一、单选题

1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）（????）

A． B． C． D．

2．（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（?????）

A．设则 B．若，则

C．若，则 D．

二、填空题

3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______

4．（2023·全国·高三专题练习）已知，化简二次根式的值是________

5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________

6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值为__________．

三、解答题

7．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算；

（2）若，求的值．

8．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算：；

（2）已知是方程的两根，求的值.

题型二指数函数的图像与性质

策略方法解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

【典例1】函数有两个不同的零点，则（且）的图象可能为（????）

A．B．C．D．

【典例2】已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（）

A．4 B．6 C．7 D．8

【典例3】比较下列几组值的大小：

(1)和；(2)和；

(3)和；(4)，，．

【题型训练】

一、单选题

1．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（????）

A．① B．② C．③ D．④

2．（2023·全国·高三专题练习）函数（且）与函数的图象可能是（????）

A．B．C． D．

3．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数（其中，）的图象恒过的定点是（????）

A． B． C． D．

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点