2024年全国甲卷数学（理科）试卷 （附详细答案）.docx

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2024年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）数学（理科）?

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设z=5+i，则

A.10i B.2i C.10 D.?

【答案】A?

【解析】【分析】

本题考查复数，结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.

【解答】

解：由z=5

故选：A

2.集合A=1,2,

A.1,4,9 B.3,4

【答案】D?

【解析】【分析】

由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解.

【解答】

解：因为A=1,2,

则A∩B

故选：D

3.若实数x,y满足约束条件4x?3y

A.5 B.12 C.?2

【答案】D?

【解析】【分析】

本题考查线性规划，属于基础题.

画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

【解答】

解：实数x,y满足

由z=x?

即z的几何意义为y=15

则该直线截距取最大值时，z有最小值，

此时直线y=15

联立4x?3y?

则z

故选：D

4.等差数列an的前n项和为Sn，若S5=S10，

A.?2 B.73 C.1

【答案】B?

【解析】【分析】

由S5=S10结合等差中项的性质可得a

【解答】

解：由S10?S

则等差数列an的公差d=a8

故选：B

5.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(

A.4 B.3 C.2 D.

【答案】C?

【解析】【分析】

由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率.

【解答】

解：设F10,?4

则F1F2=2

则2a=

故选：C

6.设函数f(x)=ex+2

A.16 B.13 C.12

【答案】A?

【解析】【分析】

本题考查导数几何意义，属于中档题.

借助导数的几何意义计算可得其在点0,1

【解答】

解：f′

则f′

即该切线方程为y?1=

令x=0，则y=1，令

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S

故选：A

7.函数fx=?x2+

A. B.

C. D.

【答案】B?

【解析】【分析】

利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得f

【解答】

解：f?

又函数定义域为?2.8,2.8，故该函数为偶函数，可排除A

又f1

故可排除D

故选：B

8.已知cosαcosα?sin

A.23+1 B.23

【答案】B?

【解析】【分析】

先将cosαcosα?

【解答】

解：因为cosα

所以11?tan

所以tanα

故选：B

9.已知向量a=x+1

A.“x=?3”是“a⊥b”的必要条件

B.“x=?3”是“a//b”的必要条件

C.“

【答案】C?

【解析】【分析】

本题考查充分必要条件的判定、向量平行、垂直的坐标表示，属于基础题.

根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【解答】

解：对于A，

当a⊥b时，则

所以x?(x+1)+

对于B，

当a//b时，则2(x

对于C，

当x=0时，a=

所以a⊥b，即充分性成立，故

对于D，

当x=?1+3时，不满足2

故选：C

10.设α、β是两个平面，m、n是两条直线，且α∩β

①若m//n，则n//α

③若n//α，且n//β，则m//

其中所有真命题的编号是(????)

A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④

【答案】A?

【解析】【分析】

根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【解答】

解：对①，当n?α，因为m//n

当n?β，因为m//n

当n既不在α也不在β内，因为m//n，m?α

对②，若m⊥n，则n与

对③，过直线n分别作两平面与α,β分别相交于直线s和直线

因为n//α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s

同理可得n//t，则s//t，因为s?平面β，t

因为s?平面α，α∩β=m，则s

对④，若α∩β=m,n与α和

综上只有①③正确，

故选：A

11.在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b

A.23913 B.3913

【答案】C?

【解析】【分析】

利用正弦定理得sinAsinC=13

【解答】

解：因为B=π

由余弦定理可得：b2

即：a2+c

所以(sin

因为A,C为三角形内角，则sin

故选：C

12.已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0

A.1 B.2 C.4 D.2

【答案】C?

【解析】【分析】

本题考查几何与代数，涉及等差数列性质，圆方程，直线过定点、直线与圆相交弦长等，属于中档题.

结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【解答】

解：因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，