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2024年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)数学(理科)?
一、单选题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设z=5+i,则
A.10i B.2i C.10 D.?
【答案】A?
【解析】【分析】
本题考查复数,结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【解答】
解:由z=5
故选:A
2.集合A=1,2,
A.1,4,9 B.3,4
【答案】D?
【解析】【分析】
由集合B的定义求出B,结合交集与补集运算即可求解.
【解答】
解:因为A=1,2,
则A∩B
故选:D
3.若实数x,y满足约束条件4x?3y
A.5 B.12 C.?2
【答案】D?
【解析】【分析】
本题考查线性规划,属于基础题.
画出可行域后,利用z的几何意义计算即可得.
【解答】
解:实数x,y满足
由z=x?
即z的几何意义为y=15
则该直线截距取最大值时,z有最小值,
此时直线y=15
联立4x?3y?
则z
故选:D
4.等差数列an的前n项和为Sn,若S5=S10,
A.?2 B.73 C.1
【答案】B?
【解析】【分析】
由S5=S10结合等差中项的性质可得a
【解答】
解:由S10?S
则等差数列an的公差d=a8
故选:B
5.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(
A.4 B.3 C.2 D.
【答案】C?
【解析】【分析】
由焦点坐标可得焦距2c,结合双曲线定义计算可得2a,即可得离心率.
【解答】
解:设F10,?4
则F1F2=2
则2a=
故选:C
6.设函数f(x)=ex+2
A.16 B.13 C.12
【答案】A?
【解析】【分析】
本题考查导数几何意义,属于中档题.
借助导数的几何意义计算可得其在点0,1
【解答】
解:f′
则f′
即该切线方程为y?1=
令x=0,则y=1,令
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S
故选:A
7.函数fx=?x2+
A. B.
C. D.
【答案】B?
【解析】【分析】
利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=1可得f
【解答】
解:f?
又函数定义域为?2.8,2.8,故该函数为偶函数,可排除A
又f1
故可排除D
故选:B
8.已知cosαcosα?sin
A.23+1 B.23
【答案】B?
【解析】【分析】
先将cosαcosα?
【解答】
解:因为cosα
所以11?tan
所以tanα
故选:B
9.已知向量a=x+1
A.“x=?3”是“a⊥b”的必要条件
B.“x=?3”是“a//b”的必要条件
C.“
【答案】C?
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判定、向量平行、垂直的坐标表示,属于基础题.
根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程,解出即可.
【解答】
解:对于A,
当a⊥b时,则
所以x?(x+1)+
对于B,
当a//b时,则2(x
对于C,
当x=0时,a=
所以a⊥b,即充分性成立,故
对于D,
当x=?1+3时,不满足2
故选:C
10.设α、β是两个平面,m、n是两条直线,且α∩β
①若m//n,则n//α
③若n//α,且n//β,则m//
其中所有真命题的编号是(????)
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
【答案】A?
【解析】【分析】
根据线面平行的判定定理即可判断①;举反例即可判断②④;根据线面平行的性质即可判断③.
【解答】
解:对①,当n?α,因为m//n
当n?β,因为m//n
当n既不在α也不在β内,因为m//n,m?α
对②,若m⊥n,则n与
对③,过直线n分别作两平面与α,β分别相交于直线s和直线
因为n//α,过直线n的平面与平面α的交线为直线s
同理可得n//t,则s//t,因为s?平面β,t
因为s?平面α,α∩β=m,则s
对④,若α∩β=m,n与α和
综上只有①③正确,
故选:A
11.在△ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b
A.23913 B.3913
【答案】C?
【解析】【分析】
利用正弦定理得sinAsinC=13
【解答】
解:因为B=π
由余弦定理可得:b2
即:a2+c
所以(sin
因为A,C为三角形内角,则sin
故选:C
12.已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0
A.1 B.2 C.4 D.2
【答案】C?
【解析】【分析】
本题考查几何与代数,涉及等差数列性质,圆方程,直线过定点、直线与圆相交弦长等,属于中档题.
结合等差数列性质将c代换,求出直线恒过的定点,采用数形结合法即可求解.
【解答】
解:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,
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