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1、?ABC中,AB?4,AC?4 2,?BAC?45,以AC的中线BD为折痕,将?ABD沿BD折起,
2构成二面角A?BD?C.在面BCD内作CE?CD,且CE? .
2
AD求证:CE∥平面ABD
A
D
如果二面角A?BD?C的大小为90,求二面角
B?AC?E的余弦值.
E
B C
2、如图,四边形ABCD为正方形,PD?平面ABCD ,PD//QA, C
1
QA?AB?
PD.
2 B
证明:平面PQC?平面DCQ;
D
求二面角Q?CP?D的余弦值. P
A Q
3、如图,在四棱锥P?ABCD中,PA?底面ABCD,
EBCAB?AD,AC?CD,?ABC?60°,PA?AB?BC,
E
B
C
E是PC的中点.
证明CD?AE;
证明PD?平面ABE; A D
求二面角A?PD?C的正切值.
4、如图,三棱锥P-ABC中,∠ACB=90°,PA⊥底面ABC.(I)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(II)若AC=BC=PA,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正切值.
5、已知四棱锥P?ABCD,PA?底面ABCD,AD//BC,AB?AD,AC与BD 交于点
O,又PA?3,AD?2,AB?2 3,BC?6,
(Ⅰ) 求证:BD?平面PAC ;(Ⅱ)求二面角O?PB?A的余 弦值.
参考答案
三角形,由D为AC的中点得BD?AC,以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD?CD,因为CE?CD,所以CE∥BD,又CE
三角形,由D为AC的中点得BD?AC,以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD?CD,因为CE?CD,所以CE∥BD,又CE?平面ABD,BD?平面ABD,所以CE∥平面ABD.
(2)如果二面角A?BD?C的大小为90,由AD?BD
得AD?平面BDC,因此AD?CE,又CE?CD,所以
A
G
CE? 平面 ACD ,从 而CE?AC .由题意
F
D
E
B
C
AD?DC?2 2,所以Rt?ADC中,AC?4.设BC中点为F,因为AB?BC?4,所以
BF?AC,且BF?2 3,设AE中点为G,则FG∥CE,由CE?AC得FG?AC,所以
?BFG 为二面角B?AC?E 的平面角,连结BG ,在?BCE 中,因为
BC?4,CE? 2,?BCE?135 , 所 以 BE? 26 . 在 Rt?DCE 中
DE? (2 2)2?( 2)2? 10,于是在Rt?ADE中,AE? (2 2)2?(10)2?3 2.在
1 1 1 33
?ABE 中 , BG2?
12?1?33
AB2? BE2? AE2?
2 2 4 2
, 所 以 在 ?BFG
中,cos?BFG?
2 2 ?? 6.因此二面角B?AC?E的余弦值为? 6.
2?2 3? 2 3 3
2
2、
【答案】(1)
PD?面ABCD,PD?CD,又CD?AD
?CD?面DAQP,?CD?PQ,又PQ?DQ
?PQ?面CDQ,PQ?面PCQ
?面PQC?面DCQ.
(2)过Q作QO?PQ交于点O,过O作OM?PC交于点M.则?OMQ是二面角的平面
6角.cos?OMQ?
6
6
3、【答案】解答:(Ⅰ)证明:在四棱锥P?ABCD中,因PA?底面ABCD,CD?平面
ABCD,故PA?CD.
∵AC?CD,PA AC?A,∴CD?平面PAC.而AE?平面PAC,∴CD?AE.
(Ⅱ)证明:由PA?AB?BC,?ABC?60°,可得AC?PA.
∵E是PC的中点,∴AE?PC.
由(Ⅰ)知,AE?CD,且PC CD?C,所以AE?平面PCD.
而PD?平面PCD,∴AE?PD.
∵
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