立体几何之空间角.docx

1、?ABC中,AB?4,AC?4 2,?BAC?45,以AC的中线BD为折痕,将?ABD沿BD折起,

2构成二面角A?BD?C.在面BCD内作CE?CD,且CE? .

2

AD求证:CE∥平面ABD

A

D

如果二面角A?BD?C的大小为90,求二面角

B?AC?E的余弦值.

E

B C

2、如图,四边形ABCD为正方形,PD?平面ABCD ，PD//QA， C

1

QA?AB?

PD.

2 B

证明:平面PQC?平面DCQ;

D

求二面角Q?CP?D的余弦值. P

A Q

3、如图,在四棱锥P?ABCD中,PA?底面ABCD,

EBCAB?AD，AC?CD，?ABC?60°,PA?AB?BC,

E

B

C

E是PC的中点.

证明CD?AE;

证明PD?平面ABE; A D

求二面角A?PD?C的正切值.

4、如图,三棱锥P-ABC中,∠ACB=90°,PA⊥底面ABC.(I)求证:平面PAC⊥平面PBC;

(II)若AC=BC=PA,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正切值.

5、已知四棱锥P?ABCD,PA?底面ABCD,AD//BC,AB?AD,AC与BD 交于点

O,又PA?3,AD?2,AB?2 3,BC?6,

(Ⅰ) 求证:BD?平面PAC ;(Ⅱ)求二面角O?PB?A的余 弦值.

参考答案

三角形,由D为AC的中点得BD?AC,以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD?CD,因为CE?CD,所以CE∥BD,又CE

三角形,由D为AC的中点得BD?AC,以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD?CD,因为CE?CD,所以CE∥BD,又CE?平面ABD,BD?平面ABD,所以CE∥平面ABD.

(2)如果二面角A?BD?C的大小为90,由AD?BD

得AD?平面BDC,因此AD?CE,又CE?CD,所以

A

G

CE? 平面 ACD ,从 而CE?AC .由题意

F

D

E

B

C

AD?DC?2 2,所以Rt?ADC中,AC?4.设BC中点为F,因为AB?BC?4,所以

BF?AC,且BF?2 3,设AE中点为G,则FG∥CE,由CE?AC得FG?AC,所以

?BFG 为二面角B?AC?E 的平面角,连结BG ,在?BCE 中,因为

BC?4,CE? 2,?BCE?135 , 所 以 BE? 26 . 在 Rt?DCE 中

DE? (2 2)2?( 2)2? 10,于是在Rt?ADE中,AE? (2 2)2?(10)2?3 2.在

1 1 1 33

?ABE 中 , BG2?

12?1?33

AB2? BE2? AE2?

2 2 4 2

, 所 以 在 ?BFG

中,cos?BFG?

2 2 ?? 6.因此二面角B?AC?E的余弦值为? 6.

2?2 3? 2 3 3

2

2、

【答案】(1)

PD?面ABCD,PD?CD,又CD?AD

?CD?面DAQP,?CD?PQ,又PQ?DQ

?PQ?面CDQ,PQ?面PCQ

?面PQC?面DCQ.

(2)过Q作QO?PQ交于点O,过O作OM?PC交于点M.则?OMQ是二面角的平面

6角.cos?OMQ?

6

6

3、【答案】解答:(Ⅰ)证明:在四棱锥P?ABCD中,因PA?底面ABCD,CD?平面

ABCD,故PA?CD.

∵AC?CD，PA AC?A,∴CD?平面PAC.而AE?平面PAC,∴CD?AE.

(Ⅱ)证明:由PA?AB?BC,?ABC?60°,可得AC?PA.

∵E是PC的中点,∴AE?PC.

由(Ⅰ)知,AE?CD,且PC CD?C,所以AE?平面PCD.

而PD?平面PCD,∴AE?PD.

∵