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立体几何证明 垂直
一.复习引入
1.空间两条直线的位置关系有: , , 三种。
2.(公理4)平行于同一条直线的两条直线互相 .
直线与平面的位置关系有 , , 三种。
直线与平面平行判定定理:如果 的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
直线与平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么 .
两个平面的位置关系: , .
判定定理1:如果一个平面内有 直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
线面垂直性质定理:垂直于同一条直线的两个平面 .
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的 平行.
如果两个平面平行,那么其中一个平面内的所有直线都 于另一个平面.二.知识点梳理
语言描述定义 判定
语言描述
定义 判定
如果直线l和平面α内的任意一条直 一条直线与一个平面内的两条相交线都垂直,我们就说直线l与平面 直线都垂直,则这条直线与该平面垂互相垂直,记作l⊥α 直.
图形
条件
结论
b为平面α内的任一直线,而l对这 l⊥m,l⊥n,m∩n=B,m??,一直线总有l⊥α n??
l⊥? l⊥?
要点诠释:定义中“平面 内的任意一条直线”就是指“平面不同(线线垂直 线面垂直)
语言描述性质
语言描述
性质
一条直线垂直于一个平面,那么这条 垂直于同一个平面的两条直线平行.直线垂直于这个平面内的所有直线
图形
内的所有直线”,这与“无数条直线”
条件结论
条件
结论
Ⅰ.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedralangle).这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角?-AB-?.(简记P-AB-Q)
二面角的平面角的三个特征:
ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面内 ⅲ. 与棱垂直
Ⅱ.二面角的平面角:在二面角?-l-?的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面?,?内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的?AOB叫做二面角的平面角.
作用:衡量二面角的大小;范围:00???1800.
知识点四、平面和平面垂直的定义和判定
文字描述
定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂
判定
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
图形
直.
结果α∩β=lα-l-β=90o α⊥β
结果
α∩β=lα-l-β=90o α⊥β
三.常用证明垂直的方法
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直,而证明线线垂直一般有以下的一些方法:
通过“平移”。
利用等腰三角形底边上的中线的性质。
利用勾股定理。
利用直径所对的圆周角是直角
(1) 通过“平移”,根据若a//b,且b⊥平面α,则a⊥平面α
DAEB.CCOPB在四棱锥P-ABCD
D
A
E
B.
C
C
O
P
B
1
DC,E为PD中点.
2
P
A
D
如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,
∠PDA=45°,点E为棱AB的中点.求证:平面PCE⊥平面PCD;
P
P
F
E
A
D
B C
(第2 题
利用等腰三角形底边上的中线的性质
3、在三棱锥P?ABC中,AC?BC?2,?ACB?90o,AP?BP?AB,PC?AC.
(Ⅰ)求证:PC?AB;
P
A B
C
利用勾股定理
4.如图,四棱锥P?ABCD的底面是边长为1的正方形,PA?CD,PA?1,PD? 2.
求证:PA?平面ABCD ;
P_A
P_
A_
_B _C
利用直径所对的圆周角是直角
5、如图,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,PA⊥平面ABC.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
课堂及课后练习题:
判断下列命题是否正确,对的打“√”,错误的打“×”。
垂直于同一直线的两个平面互相平行 ( )
垂直于同一平面的两条直线互相平行 ( )
一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,则这两条直线垂直( )
已知直线 a,b 和平面 ? ,且 a?b,a??, 则 b 与 ? 的位置关系是
.
如图所示,在四棱锥P?ABCD中,AB?平面PAD,AB//CD,PD?AD,E是PB的中点,F是CD上
的点,且DF?1AB,PH为?PAD中AD边上的高。
(1
(1)证明:PH?平面ABCD;
如图所示,四棱锥P?ABCD
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