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一、共线问题
立体几何中的共点、共线、共面问题
例1.若ΔABC所在的平面和ΔABC
所在平面相交,并且直线AA、BB、CC
相交于一
点O,求证:
111
1 1 1
AB和AB、BC和BC、AC和AC分别在同一平面内;
11 11 11
111111如果AB和AB、
11
11
11
例2. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上,且PQ∩BC=X,QR∩CD=Z,PR
∩BD=Y.求证:X、Y、Z三点共线.
例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线。
二、共面问题
例4. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交,交点为A、B、C、D、E、F,如图,求证:直线a、b、c、m、n共面.
例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.
已知:如图,直线l,l,l,l两两相交,且不共点.
1 2 3 4
1234求证:直线l,l,l
1
2
3
4
例6. 已知:A、B、C和A、B、C分别是两条异面直线l和l上的任意三点,M、
1 1 1 2 2 2 1 2
N、R、T分别是AA、BA、BB、CC的中点.求证:M、N、R、T四点共面.
12 12 12 12
例7. 在空间四边形ABCD中,M、N、P、Q分别是四边上的点,且满足
AQ CP
= =k.
QD PD
求证:M、N、P、Q共面.
AM CN
= =
MB NB
当对角线AC=a,BD=b,且MNPQ是正方形时,求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)
三、共点问题
例8.三个平面两两相交得三条直线,求证:这三条直线相交于同一点或两两平行.
1、(1)证明:∵AA∩BB=O,
1 1
∴AA、BB确定平面BAO,
1 1
∵A、A、B、B都在平面ABO内,
平面ABO;AB∴AB?1 1 ?
平面ABO;AB
11
同理可证,BC和BC、AC和AC分别在同一平面内.
11 11
(2)分析:欲证两直线的交点在一条直线上,可根据公理2,证明这两条直线分别在
两个相交平面内,那么,它们的交点就在这两个平面的交线上.2证明:如图,设AB∩AB=P;
11
AC∩AC=R;
11
∴ 面ABC∩面ABC=PR.
111
∵ BC?面ABC;BC?面ABC,
11 111
且 BC∩BC=Q ∴ Q∈PR,
11
即 P、R、Q在同一直线上.
解析:∵A、B、C是不在同一直线上的三点
∴过A、B、C有一个平面?又?AB???P,且AB??
?点P既在?内又在?内,设????l,则p?l. 同理可证:Q?l,R?l
?P,Q,R三点共线.
解析:证明若干条直线共面的方法有两类:一是先确定一个平面,证明其余的直线在这个平面里;二是分别确定几个平面,然后证明这些平面重合.
证明 ∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α.
∵A∈a,a?α,∴A∈α,同理B∈a.
又∵A∈m,B∈m,∴m?α.同理可证n?α.
∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β,同理可证m?β.
∵平面α、β都经过相交直线b、m,
∴平面α和平面β重合,即直线a、b、c、m、n共面.
5、解析:证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α,然后证其它直线也在α内.
证明:图①中,l∩l=P,
1 2
∴ l,l确定平面α.
1 2
31又 l∩l=A,l∩l=C, ∴C,A∈α.
3
1
?2 3
?
故 l α.
3
同理 l
4
?α.
∴ l,l,l,l共面.
1 2 3 4
图②中,l,l,l,l的位置关系,同理可证l,l,l,l
共面.
1 2 3 4 1 2 3 4
所以结论成立.
6、证明 如图,连结MN、NR,则MN∥l,NR∥l,且M、N、R不在同一直线上(否则,
1 2
根据三线平行公理,知l∥l与条件矛盾).∴ MN、NR可确定平面β,连结BC,取
1 2 12
其中点S.连RS、ST,则RS∥l,又RN∥l,∴ N、R、S三点共线.即有S∈β,又
2 2
ST∥l,MN∥l,∴MN∥ST,又S∈β,∴ ST?β.
1 1
∴ M、N、R、T四点共面.
7解析:(1)∵
AM AQ
= =k
MB QD
∴ MQ∥BD,且
AM k
=A
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