立体几何共线共点共面问题.docx

一、共线问题

立体几何中的共点、共线、共面问题

例1.若ΔABC所在的平面和ΔABC

所在平面相交，并且直线AA、BB、CC

相交于一

点O，求证：

111

1 1 1

AB和AB、BC和BC、AC和AC分别在同一平面内；

11 11 11

111111如果AB和AB、

11

11

11

例2. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR

∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.

例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。

二、共面问题

例4. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.

例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.

已知：如图，直线l，l，l，l两两相交，且不共点.

1 2 3 4

1234求证：直线l，l，l

1

2

3

4

例6. 已知：A、B、C和A、B、C分别是两条异面直线l和l上的任意三点，M、

1 1 1 2 2 2 1 2

N、R、T分别是AA、BA、BB、CC的中点.求证：M、N、R、T四点共面.

12 12 12 12

例7. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足

AQ CP

＝ ＝k.

QD PD

求证：M、N、P、Q共面.

AM CN

＝ ＝

MB NB

当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)

三、共点问题

例8.三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.

1、(1)证明：∵AA∩BB＝O,

1 1

∴AA、BB确定平面BAO，

1 1

∵A、A、B、B都在平面ABO内，

平面ABO；AB∴AB?1 1 ?

平面ABO；AB

11

同理可证，BC和BC、AC和AC分别在同一平面内.

11 11

(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在

两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.2证明：如图，设AB∩AB＝P；

11

AC∩AC＝R；

11

∴ 面ABC∩面ABC＝PR.

111

∵ BC?面ABC；BC?面ABC，

11 111

且 BC∩BC＝Q ∴ Q∈PR,

11

即 P、R、Q在同一直线上.

解析：∵A、B、C是不在同一直线上的三点

∴过A、B、C有一个平面?又?AB???P,且AB??

?点P既在?内又在?内,设????l,则p?l. 同理可证:Q?l,R?l

?P,Q,R三点共线.

解析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.

证明 ∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α.

∵A∈a,a?α，∴A∈α,同理B∈a.

又∵A∈m，B∈m,∴m?α.同理可证n?α.

∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证m?β.

∵平面α、β都经过相交直线b、m,

∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面.

5、解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.

证明：图①中，l∩l＝P，

1 2

∴ l,l确定平面α.

1 2

31又 l∩l＝A,l∩l＝C, ∴C,A∈α.

3

1

?2 3

?

故 l α.

3

同理 l

4

?α.

∴ l,l,l,l共面.

1 2 3 4

图②中，l,l,l,l的位置关系，同理可证l,l,l,l

共面.

1 2 3 4 1 2 3 4

所以结论成立.

6、证明 如图，连结MN、NR，则MN∥l,NR∥l，且M、N、R不在同一直线上(否则，

1 2

根据三线平行公理，知l∥l与条件矛盾).∴ MN、NR可确定平面β，连结BC，取

1 2 12

其中点S.连RS、ST，则RS∥l，又RN∥l，∴ N、R、S三点共线.即有S∈β，又

2 2

ST∥l，MN∥l，∴MN∥ST，又S∈β，∴ ST?β.

1 1

∴ M、N、R、T四点共面.

7解析：(1)∵

AM AQ

＝ ＝k

MB QD

∴ MQ∥BD，且

AM k

＝A