专题16 椭圆及其标准方程10种常考题型归类（106题）（解析版）.docx

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专题16椭圆及其标准方程10种常考题型归类（106题）

高频考点

考点一椭圆定义及辨析

考点二椭圆定义的应用

（一）判断椭圆的方程

（二）根据椭圆的方程求参数

考点三求椭圆的标准方程

考点四根据椭圆方程求相关量

考点五求椭圆上点的坐标

考点六椭圆上点到焦点距离（含最值）问题

考点七椭圆上点到坐标轴上点的距离（含最值）问题

考点八椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值

考点九椭圆的焦点三角形问题

求焦点三角形的内角或边长

求焦点三角形的周长

求焦点三角形的面积

焦点三角形的内切圆问题

与焦点三角形有关的最值问题

焦点三角形的综合问题

考点十与椭圆有关的轨迹问题

直接法

定义法

（三）相关点法

知识点1：椭圆的定义

1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，

这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.

说明：

若，的轨迹为线段；

若，的轨迹无图形

2、定义的集合语言表述

集合.

知识点2：椭圆的标准方程

焦点位置

焦点在轴上

焦点在轴上

标准方程

（）

（）

图象

焦点坐标

，

，

的关系

特别说明：

1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.

2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上?标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上?标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.

解题策略

1．椭圆定义的应用

(1)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算．

(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．

注：（1）对椭圆定义的三点说明

①椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．

②定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．

③常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．

（2）椭圆定义的应用技巧

①椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.

②直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）.

③涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．

2.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面

(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；

(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．

3.求椭圆标准方程的方法

(1)关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置，明确其标准方程的形式，再利用定义及a2－b2＝c2求出参数a，b，最后代入椭圆标准方程．

(2)待定系数法：构造a，b，c三者之间的关系，通过解方程组求出a，b.但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．

当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．因为它包括焦点在x轴上(mn)或焦点在y轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．

4．椭圆标准方程的两种应用

由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)．

(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a2，b2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a2＝b2＋c2求出c，即可写出焦点坐标．

(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，当mn0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当nm0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．特别地，当n＝m0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化．

5．椭圆的焦点三角形问题

解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．

注：（1）椭圆中焦点三角形的解题策略

在解焦点三角形的