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高三备考中解三角形问题的探讨

【摘要】针对高三备考解斜三角形这一模块复习中,教师的教授与学生的解

答遇到的典型问题进行思考,并提出解决的办法。

【关键词】解斜三角形正弦定理余弦定理三角函数

1考纲知识解读

掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。能够运用

正弦定理、余弦定理等知识的方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

解三角形的内容是三角函数知识、三角形知识、平面向量知识综合考查,考

纲中要求“掌握”,属于最高级别的要求。

解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换

化简,然后运用正余弦定理求值;二是与平面向量知识结合(主要是数量积);判定三

角形形状或结合正余弦定理求值。试题一般为中低档试题,客观题,解答题均有可

能出现。

除牢固掌握正、余弦定理外,三角形的有关知识如:内心、外心、重心、垂心、

内角和、三边关系,面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB等也要牢固掌握。

在高三的第一轮复习中,我谈谈针对解三角的复习教学过程中遇到的一些问

题及解决的办法。

题型一:应用正、余弦定理解斜三角形。

解决策略:对正、余弦定理要灵活运用,以及掌握它们所蕴含的边化角,角化边

思想方法。

2009年全国卷I,第17题:在ΔABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、

c,已知a2-c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC,求b。

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手。对已知条件①

a2-c2=2b,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知

条件②sinAcosC=3cosAsinC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还

想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分。

解法一:用余弦定理,角化边。在ΔABC中QsinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定

理及余弦定理有:

a·=3·c

化简并整理得:2(a2-c2)=b2又由已知a2-c2=2b∴4b=b2

解得:b=4或b=0(舍)

解法二:用正弦定理,角化边。

由余弦定理得:a2-c2=b2-2bccosA

由a2-c2=2b,b≠0。得:b=2ccosA+2……①

由sinAcosC=3cosAsinC,得:

sinAcosC+cosAsinC=4cosAsicC

sin(A+C)=4cosAsinC

即sinB=4cosAsinC

由正弦定理角化边得:b=4ccosA……②

由①,②解得b=4。

总结:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查,在备考中

应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力。

2010年全国卷I,第17题:已知三角形ABC的内角A,B及其对边a,b满足

a+b=acotA+bcotB,求内角C。

分析:该题是考查正、余弦定理的灵活运用。

2真题感悟

解斜三角是近年高考命题的热点之一。近几年对解三角的要求基本未作调整,

主要考查正、余弦定理的运用。但是在解题的过程中常常由于三角形三内角有

A+B+C=π这一关系,化简计算中就会与三角函数的基本关系式、诱导公式、和角

与倍角公式等常用公式联系在一起。

题型二:应用正、余弦定理判断三角形的形状。

例:在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,若

(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断该三角形的形状。

解法一:边化角。由已知化简得a2cosAsinB=b2cosBsinA由正弦定理得

sinAcosA=sinB,由二倍角公式得sin2A=sin2B,则有2A=2B或2A+2B=π,则有A=B

或A+B=,为等腰三角形或者直角三角形。

解法二:角化边。由a2cosAsinB=b2cosBsinA,及正、余弦定理得:a2b=b2a,化简

后得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0