2024年全国甲卷高考理科数学试题.doc

1.设，则（）

A B. C.10 D.

2.集合，则（）

A. B. C. D.

3.若实数满足约束条件，则的最小值为（）

A. B. C. D.

4.等差数列的前项和为，若，，则（）

A. B. C.1 D.2

5.已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A.4 B.3 C.2 D.

6.设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

A. B. C. D.

7.函数在区间的大致图像为（）

A. B.

C. D.

8.已知，则（）

A. B. C. D.

9.已知向量，则（）

A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件

C.“”是“”充分条件 D.“”是“”的充分条件

10.设两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：

①若，则或②若，则

③若，且，则④若与和所成的角相等，则

其中所有真命题的编号是（）

A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④

11.在中内角所对边分别，若，，则（）

A. B. C. D.

12.已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（）

A.2 B.3 C.4 D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.的展开式中，各项系数的最大值是______．

14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比______．

15.已知，，则______．

16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品

合格品

不合格品

总计

甲车间

26

24

0

50

乙车间

70

28

2

100

总计

96

52

2

150

（1）填写如下列联表：

优级品

非优级品

甲车间

乙车间

能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？

（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）

附：

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

18.记为数列的前项和，且．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为．

19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值．

20.设椭圆的右焦点为，点在上，且轴．

（1）求的方程；

（2）过点的直线与交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．

21已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，恒成立，求的取值范围．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的直角坐标方程；

（2）设直线l：（为参数），若与l相交于两点，若，求的值.

[选修4-5：不等式选讲]

23.实数满足．

（1）证明：；

（2）证明：．