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5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值

在学习函数的极值时，我们需要明确什么是函数的极值以及如何确定函数的最大值和最小值。本课将深入探讨这些概念，并探讨求解函数极值的具体方法和技巧。

1.函数的极值概念

函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。在数学上，我们将这些点称为极大值和极小值，或者统称为极值点。极值点是函数在某一区间内局部最大或最小的点，它们对于理解函数的行为和特征至关重要。

2.极值点的判定条件

导数的应用：函数在某一点的导数为零或未定义时，可能是极值点的候选点。

二阶导数的符号：通过函数的二阶导数来判断极值的类型（极大值或极小值）。

端点处的极值：如果函数在定义域的端点，即开区间的端点或者整个定义域的端点，也可能取得极值。

3.寻找函数的极值过程

步骤一：计算导数

我们计算函数的导数。导数告诉我们函数在不同点的变化率，极值点通常出现在导数为零或者导数不存在的地方。

步骤二：求解导数为零的点

找出导数等于零的点，这些点可能是函数的极值点。需要注意的是，并非所有导数为零的点都是极值点，还需要进一步验证。

步骤三：二阶导数的应用

通过计算函数的二阶导数，来判断导数为零点处的函数是取得极大值还是极小值。具体而言：

若二阶导数大于零，则函数在该点取得极小值。

若二阶导数小于零，则函数在该点取得极大值。

若二阶导数等于零，则该方法无法确定极值，需要考虑其他方法。

步骤四：验证边界处的极值

在某些情况下，函数的极值出现在定义域的边界处，这时需要单独考虑定义域的边界点是否是极值点。

4.实际应用与案例分析

为了更好地理解函数极值的概念和应用，我们可以通过实际的案例来进行分析。例如，考虑一元二次函数

f(x)=ax

2

+bx+c，我们可以通过求导和二阶导数来找到其极值点，并进一步分析这些点对应的函数值。

通过本课的学习，希望能够帮助同学们深入理解函数的极值概念，并掌握有效的解题方法。在数学学习中，不仅仅是理论的掌握，更重要的是能够灵活应用到实际问题中去解决和分析。

6.案例分析与实际应用

为了进一步巩固我们对函数极值的理解，我们可以通过具体的案例来详细分析和应用所学的方法和技巧。

案例一：一元二次函数的极值

考虑函数

f(x)=x

2

?4x+3在定义域

x∈R上的极值问题。

步骤一：计算导数

f

′

(x)=2x?4

步骤二：求导数为零的点

2x?4=0

x=2

x=2是可能的极值点。

步骤三：计算二阶导数

f

′′

(x)=2

因为

f

′′

(x)0，所以

x=2处函数

f(x)取得极小值。

步骤四：验证边界处的极值

在定义域

R上不存在边界，因此不需要额外验证。

函数

f(x)=x

2

?4x+3在

x=2处取得极小值。计算得

f(2)=?1，因此极小值为

?1。

案例二：综合应用

考虑函数

g(x)=x

3

?6x

2

+9x+1在定义域

x∈[?1,4]上的极值问题。

步骤一：计算导数

g

′

(x)=3x

2

?12x+9

步骤二：求导数为零的点

3x

2

?12x+9=0

x

2

?4x+3=0

(x?1)(x?3)=0

x=1或x=3

可能的极值点为

x=1和

x=3。

步骤三：计算二阶导数

g

′′

(x)=6x?12

在

x=1处：

g

′′

(1)=6(正数，说明函数在x=1处取得极小值)

在

x=3处：

g

′′

(3)=6(正数，说明函数在x=3处取得极小值)

步骤四：验证边界处的极值

函数在边界

x=?1和

x=4处也需要考虑可能的极值。

g(?1)=?5,g(4)=5

最大值为

5（在

x=4处）；最小值为

?5（在

x=?1处）。

函数

g(x)=x

3

?6x

2

+9x+1在定义域

x∈[?1,4]上的极值为：

最大值为

5，在

x=4处；

最小值为

?5，在

x=?1处。

通过本课的学习，我们深入探讨了函数的极值及其求解方法。我们学习了如何利用导数和二阶导数来判断函数在特定点的极值类型，以及如何在给定的定义域内找到函数的最大值和最小值。这些方法不仅帮助我们理论上理解函数行为，也能在实际问题中应用，解决各种数学和工程上的优化问题。