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相似三角形专题(动点问题)

相似三角形应用专题（二）

动态几何中的相似三角形

例题讲解一：如图，在梯形中，，，，，梯形的高为．动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为（秒）．

（1）当时，求的值；

（2）试探究：为何值时，为直角三角形．

变式练习1-1：如图所示，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当，求的值；（3）ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由。

相似三角形专题(动点问题)全文共1页，当前为第1页。变式练习1-2：如图，已知直线的函数表达式为，且与轴，轴分别交于两点，动点从点开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为秒．

相似三角形专题(动点问题)全文共1页，当前为第1页。

（1）求出点的坐标；

（2）当为何值时，与相似？

OPAQByx（3）求出（2）中当

O

P

A

Q

B

y

x

O

O

P

A

Q

B

y

x

图-2ADOBC21MN

图-2

A

D

O

B

C

2

1

M

N

图-1

A

D

B

M

N

1

2

图-3

A

D

O

B

C

2

1

M

N

O

于点O，∠1?=?∠2?=?45°．

（1）如图1，若AO?=?OB，请写出AO与BD

相似三角形专题(动点问题)全文共2页，当前为第2页。的数量关系和位置关系；

相似三角形专题(动点问题)全文共2页，当前为第2页。

（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到

图2，其中AO?=?OB．求证：AC?=?BD，AC?⊥?BD；

（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到

图3，求的值．

变式练习2-1：已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90o，∠A＝30o，点P在AC上，且∠MPN＝90

当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN＝eq\r(3)PM．（不需证明）

相似三角形专题(动点问题)全文共3页，当前为第3页。当PC＝eq\r(2)PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．

相似三角形专题(动点问题)全文共3页，当前为第3页。

变式练习2-2：如图1，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

相似三角形专题(动点问题)全文共4页，当前为第4页。（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.

相似三角形专题(动点问题)全文共4页，当前为第4页。

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

Gy

G

y

x

图2

O

F

E

D

C

B

A

G

G

图1

F

E

D

C

B

A

G

G

y

x

图2

O

F

E

D

C

B

A

G

G

图1

F

E

D

C

B

A

例题讲解三：如图１，中，，cm，矩形的长和宽分别为8cm和2cm，点和点重合，和在一条直线上．令不动，矩形沿所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图２），直到点与点重合为止．设移动秒后，矩形与重叠部分的面积为．求与之间的函数关系式．

A

A

B

D

P

N

C(M)

２

２

图２

图１

相似三角形专题(动点问题)全文共5页，当前为第5页。

相似三角形专题(动点问题)全文共5页，当前为第5页。

A

A

B

D

P

N

C(M)

２

２

图２

图１

变式练习3-1：如图，在等腰梯形中，，，，．等腰直角三角形的斜边，点与点重合，和在一条直线上，设等腰梯形不动，等腰直角三角形沿所在直线以的速度向右移动，直到点与点重合为止．

（1）等腰直角三角形在整个移动过程中与等腰梯形重叠部分的形状由形变化为形；

（2）设当等腰