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微分方程
—基本概念
定义 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程,未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶.
定义若微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等,则称这个解为方程的通解.在通解中给任意常数以确定的值得到的解,称为微分方程的特解.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式:F(x,y,y?)?0或y??f(x,y).
可分离变量的微分方程
如果一阶微分方程能化为N(y)dy?M(x)dx的形式,那么原方程称为可分离变量的微
分方程.对上式两边积分,得?N(y)dy??M(x)dx,便可得到所求的通解.
如要求其特解,可由初始条件y
?y代入通解中定出任意常数C的值,可得特解.
x?x0 0
例 求微分方程(1?y2)dx?xy(1?x2)dy?0满足初始条件y(1)?2 的特解.
解 分离变量,得 y dy??1
dx.
1?y2 x(1?x2)
y ?1
x ? 1 1 1
即 dy?? ?
?dx.两边积分,得 ln(1?y2)?lnx? ln(1?x2)? lnC.
1?y2
?x 1?x2?
2 2 2
即ln(1?x2)(1?y2)?ln(Cx2).通解为(1?x2)(1?y2)?Cx2.
把初始条件y(1)?2代入通解,可得C?10.所求特解为(1?x2)(1?y2)?10x2.
齐次方程
? ?可化为形如dy?f?y?
? ?
dx ?x?
齐次方程中,作变量替换u?
y就可以化为可分离变量的方程:? 1
x f(u)?u
du??1dx
x
求出积分后,将u还原成y
x
,便得所给齐次方程的通解.
例如方程(xy?y2)dx?(x2?2xy)dy?0
例 解微分方程y??y
x
?2tan y.
x
解 原方程可写成:y??2tan
y?y.这是齐次方程.令u?y
,f(u)=2tanu+u.
x x x
代入原方程得?
du ?
tanu
?dxx
.积分得lnsinu?2lnx?lnc?lncx2.得sinu?cx2.
将u?
y y
代入上式,便得原方程的通解为sin ?cx2.
x x
在微分方程中,一般习惯上把x看作自变量,但有时若将y看作自变量,求解时会很简便,如下例.
例求微分方程(y2?3x2)dy?2xydx ?0满足初始条件y
?1的特解.
x?0
解 原方程可化为dx
?y2
?3x2
?x?2
1?3? ?
? ?y? .
dy 2xy
2?x
y
令u?x
y
,即x
?uy
,则dx
dy
?u?ydu
dy
,代入上式,得ydu
dy
1?5u2
? .分离变量,并
2u
两边积分,得?
2u
du?
1?5u2
?1dy.即?
y
1ln(1?5u2)?lny?
5
1
lnC.
5
将u?
x代入,得到原方程的通解为y5
y
?5x2y3?C
将初始条件y?1代入通解中,得到C?1.所求特解为y5?5x2y3?1.
x?0
与齐次方程类似,某些微分方程通过变量替换可化为可分离变量的方程,然后分离变量,经积分可求得通解.变量替换的方法是解微分方程最常用的方法.在后面,我们还会用到这种方法,这里再举一例.
例6 求解微分方程dy
dx
???1 ?1.
x?y
解 令x?y?u,则y?x?u,dy
dx
?1?du
dx
,于是 1?du
dx
?1?1.duu dx
??1.
u
分离变量,并两边积分,得u2??2x?C.以u?x?y代回,得(x?y)2??2x?C
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