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微分方程
—基本概念
定义 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶．
定义若微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解．在通解中给任意常数以确定的值得到的解，称为微分方程的特解．
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式：F(x,y,y?)?0或y??f(x,y)．
可分离变量的微分方程
如果一阶微分方程能化为N(y)dy?M(x)dx的形式，那么原方程称为可分离变量的微
分方程．对上式两边积分，得?N(y)dy??M(x)dx，便可得到所求的通解．
如要求其特解，可由初始条件y
?y代入通解中定出任意常数C的值，可得特解．
x?x0 0
例 求微分方程(1?y2)dx?xy(1?x2)dy?0满足初始条件y(1)?2 的特解．
解 分离变量，得 y dy??1
dx．
1?y2 x(1?x2)
y ?1
x ? 1 1 1
即 dy?? ?
?dx．两边积分，得 ln(1?y2)?lnx? ln(1?x2)? lnC．
1?y2
?x 1?x2?
2 2 2
即ln(1?x2)(1?y2）?ln(Cx2)．通解为(1?x2)(1?y2)?Cx2．
把初始条件y(1)?2代入通解，可得C?10．所求特解为(1?x2)(1?y2)?10x2．
齐次方程
? ?可化为形如dy?f?y?
? ?
dx ?x?
齐次方程中，作变量替换u?
y就可以化为可分离变量的方程：? 1
x f(u)?u
du??1dx
x
求出积分后，将u还原成y
x
，便得所给齐次方程的通解．
例如方程(xy?y2)dx?(x2?2xy)dy?0
例 解微分方程y??y
x
?2tan y.
x
解 原方程可写成：y??2tan
y?y.这是齐次方程．令u?y
，f(u)=2tanu+u．
x x x
代入原方程得?
du ?
tanu
?dxx
.积分得lnsinu?2lnx?lnc?lncx2.得sinu?cx2.
将u?
y y
代入上式，便得原方程的通解为sin ?cx2.
x x
在微分方程中，一般习惯上把x看作自变量，但有时若将y看作自变量，求解时会很简便，如下例．
例求微分方程(y2?3x2）dy?2xydx ?0满足初始条件y
?1的特解．
x?0
解 原方程可化为dx
?y2
?3x2
?x?2
1?3? ?
? ?y? ．
dy 2xy
2?x
y
令u?x
y
，即x
?uy
，则dx
dy
?u?ydu
dy
，代入上式，得ydu
dy
1?5u2
? ．分离变量，并
2u
两边积分，得?
2u
du?
1?5u2
?1dy．即?
y
1ln(1?5u2)?lny?
5
1
lnC．
5
将u?
x代入，得到原方程的通解为y5
y
?5x2y3?C
将初始条件y?1代入通解中，得到C?1．所求特解为y5?5x2y3?1．
x?0
与齐次方程类似，某些微分方程通过变量替换可化为可分离变量的方程，然后分离变量，经积分可求得通解．变量替换的方法是解微分方程最常用的方法．在后面，我们还会用到这种方法，这里再举一例．
例6 求解微分方程dy
dx
???1 ?1．
x?y
解 令x?y?u，则y?x?u，dy
dx
?1?du
dx
，于是 1?du
dx
?1?1．duu dx
??1．
u
分离变量，并两边积分，得u2??2x?C．以u?x?y代回，得(x?y)2??2x?C
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